L'eau dans les pentes

1. Introduction

2. Cas d'écoulement

3. Modélisation

4. Dynamiques

5. Pluviométrie

6. Références

1. Introduction

Introduction

L’eau est l’ennemie de la stabilité des talus, plus de 80% des problèmes de stabilité sont dus à l’eau. L’équilibre d’un talus se traduit par un champ de contraintes effectives de bonne allure. Une venue d’eau modifie les contraintes effectives et cette distribution satisfaisante est perturbée, jusqu'à provoquer la rupture. Ces phénomènes peuvent être décrits à l’aide d’équations aux dérivées partielles simples qui s’intègrent facilement avec la méthode des éléments finis. La pertinence des résultats est cependant difficile à établir vu la grande difficulté à connaître les conditions limites du problème, qui ont, par nature, une très grande influence sur le résultat.

Rappels d’hydraulique des milieux poreux.

Dans un sol l’eau peut être en équilibre, sans écoulement apparent, et une limite existe entre la zone saturée et celle non saturée. Cette limite, horizontale si équilibre, s’appelle la nappe. Elle peut être mise en évidence par un puits de petit diamètre, un piézomètre.

Sinon, quand un véritable écoulement se produit dans la zone saturée, en dessous de la nappe, l’ingénieur doit résoudre cet écoulement à l’aide des équations suivantes :

h = u / g_w + z, ce qui définit la charge hydraulique et u correspond à la pression de l’eau, la pression interstitielle. Gw est le poids spécifique de l’eau (10kN/m3), z une référence verticale (côte) choisie judicieusement pour des calculs plus lisibles.

v = k i, détermine la vitesse de l’écoulement, produit du gradient i de la charge, par la perméabilité du sol k. C’est la loi de Darcy. La perméabilité k est difficile à déterminer avec précision et présente un caractère anisotropique important. Du sable à l’argile, elle varie de 10 ^-3 m/s à 10 ^-12 m/s. Pour deux sols différents, si le rapport de perméabilité dépasse 100, un des sols peut être considéré comme imperméable par rapport à l’autre.

Type de sol	k : perméabilité en cm/s
Graves	10 ² à 10 ^{- 1}
Sables	10 ^{- 1} à 10 ^{- 3}
Limons	10 ^{- 3} à 10 ^{- 7}
Argiles	10 ^{- 7} à 10 ^{- 11}
Roches non fissurées	10 ^{- 8} à 10 ^{- 10}

Tab 3 - 1 - Valeurs de perméabilité

Dh = 0, cette équation, qui traduit la conservation de l’eau dans un sol permet de résoudre l’écoulement, c’est à dire déterminer en tout point du domaine la charge, donc la vitesse et la pression interstitielle. L’écoulement peut être représenté par ses lignes de courant et ses équipotentielles. Cette résolution d’équations différentielles ne peut être accomplie que si les conditions limites de l’écoulement sont connues, ce qui est parfois très délicat et il y a souvent, de nombreuses hypothèses simplificatrices à poser.

E = i V g_w , traduit le fait qu’un sol parcouru par un écoulement est soumis à des forces d’entraînement volumique. Lorsque l’écoulement est ascendant, il y a alors risque de renard. Le gradient critique i_c = g’ / g_w, est la limite du gradient vertical avant boulance du sol.

La coexistence de deux zones de sol, zone saturée et zone non saturée, rend la résolution de l’écoulement un peu plus délicate. Chaque élément de sol peut être en cours de saturation, c’est un accumulateur d’eau ; en cours de drainage, il fournit de l’eau à ses voisins ; ou saturé, il est parcouru par un écoulement. Cette modification du degré de saturation se traduit par une variation importante de la perméabilité. Différents auteurs ont fourni des relations entre la perméabilité et le degré de saturation. L’ingénieur possède ainsi des données pour ses calculs, s’il connaît les conditions limites à appliquer.

2. Cas d'écoulement

Dans ce paragraphe les écoulements considérés sont des écoulements stationnaires, qui ne dépendent pas du temps.

Fig.3 - 13 - Influence sur l’écoulement provoqué par l’infiltration superficielle, de la présence de couches de faible perméabilité à l'intérieur d'un dépôt de plus grande perméabilité (d'après Roulon et Freeze, 1985).

Les pressions interstitielles dépendent du nombre et de l’épaisseur des couches moins perméables, de leur position et du rapport de perméabilité entre les différents sols. Les conséquences en termes de contraintes effectives sont remarquables et ne sont pas toujours considérées dans une analyse conventionnelle. Ce qui peut conduire à de graves erreurs.

Ecoulement plan

1 - Cas de la pente infinie.

Dans le cas d’un milieu saturé, homogène et isotrope, pour un écoulement unidimensionnel en régime permanent, le réseau d'écoulement de la pente infinie peut être déterminé sans aucune difficulté analytique.

1 - 1 - Ecoulement uniforme d’inclinaison variable.

Fig. 3 - 1 - Pressions interstitielles dans le cas de pente infinie isotrope et d’écoulement unidimensionnel (d'après Bolton, 1979).

L’écoulement parallèle à la surface du terrain est le cas le plus souvent considéré dans les calculs, car ce cas correspondant à beaucoup de situations réelles : il est caractéristique de pentes constituées par une couche homogène d’épaisseur constante couvrant une formation de perméabilité très faible, comme dans le cas des argiles raides, qui ont toujours une couverture altérée.

Si le sol est isotrope, les équipotentielles sont normales aux lignes d'écoulement et la surface du sol représente une ligne d’écoulement. En considérant que le long d'une équipotentielle la charge hydraulique h est constante, on peut facilement calculer la pression de l'eau, qui est égale à la différence d’altitude entre le point considéré et le point d’intersection de l'équipotentielle avec la surface libre. Cette valeur est fonction de l'inclinaison de la pente et de l’inclinaison a des lignes d’écoulement (fig. 1).

Le cas d’écoulement vertical vers le bas est aussi possible, en présence d’une couche très perméable en profondeur.

S’il y a écoulement descendant, la pression interstitielle au point considéré est plus faible que ce qu’elle serait s’il n’y avait pas d’écoulement; s’il y a écoulement ascendant, la pression interstitielle est plus grande.

De l’équation issue de la figure 1 on peut déduire que la direction d'écoulement joue un rôle très important sur les pressions interstitielles. En particulier, à la profondeur zde la surface de la nappe, la pression d’eau peut varier entre 0 (cas d'écoulement vertical vers le bas) et (cas d'écoulement, en direction perpendiculaire, vers la surface du terrain,).

Donc, la direction d’écoulement influence beaucoup l'état de contrainte effective et de ce fait le coefficient de sécurité défini par t_max / t = c’ + (s - u) tan j ’ .(1).

Dans les sols partiellement saturés à granulométrie fine (limons et argiles), la valeur de u à introduire dans l’expression (1) est négative, c’est la succion qui dépend de la granulométrie et du degré de saturation du sol. Comme il est fonction de u, le coefficient de sécurité peut être important. Mais l’annulation des pressions négatives capillaires (due par exemple à des pluies intenses et prolongées) peut réduire le coefficient de sécurité jusqu’à la rupture, ce qui est typique de régions à climat très chaud (Brand, 1987).

Fig. 3 - 2 - Coefficient de sécurité d’une pente infinie dans l’hypothèse d’écoulement unidimensionnel et de terrain frottant (c’=0) saturé (g_sat=20 KN/m³)

La figure 3 montre les résultats d’un grand nombre de mesures de succion effectuées dans une pente en terrains résiduels à Singapour. La succion, qui dans la couche superficielle a une valeur initiale maximum d’environ 100 kPa, est annulée complètement après des pluies d’intensité même faible.

Fig. 3 - 3 - Succion mesurée à Singapour dans une pente constituée par des terrains d’altération (d’après Pitts et Cy, 1987).

1 - 2 - Ecoulement uniforme dans une pente dont la perméabilité varie avec la profondeur.

Les variations de perméabilité qui intéressent les sols homogènes caractérisés par un degré de surconsolidation faible, dont la porosité dépend de l’état de contrainte, influencent remarquablement les caractéristiques d’écoulement et la distribution des pressions interstitielles.

Le problème a été étudié par Iverson (1990) qui a analysé le cas de la pente infinie. La figure 4 montre le réseau d'écoulement théorique obtenu pour un coefficient de perméabilité variable avec la profondeur selon l’expression k=y²(y étant l'abscisse en direction normale à la surface du terrain).

Fig. 3 - 4 - Réseau d'écoulement pour une pente infinie, dans le cas de coefficient de perméabilité variable avec la profondeur selon l’expression k=y²

(d'après Iverson, 1990)

1 - 3 - Ecoulement uniforme dans une pente dont la perméabilité est anisotrope.

L'anisotropie de la perméabilité aussi exerce une influence remarquable sur le régime des pressions interstitielles. Un exemple est reporté dans la figure 5, qui montre la distribution de la pression interstitielle le long d’une surface de glissement potentielle pour différentes hypothèses sur l’anisotropie : la situation plus défavorable est obtenue lorsque l’axe principal de perméabilité est parallèle à la pente.

Fig. 3 - 5 - Niveaux piézométriques à la base d’une probable surface de glissement dans un milieu homogène et anisotrope, pour différentes hypothèses sur l’anisotropie de perméabilité (d'après Hodge et Freeze, 1977): a) isotrope; b) axe principal de perméabilité horizontal; c) axe principal de perméabilité vertical; d) axe principal de perméabilité parallèle à la pente; e) axe principal de perméabilité incliné de 45°.

Colline

Cas d’une colline

3 - 2 - 2 - 1 - Colline symétrique.

La présence de conditions de symétrie géométrique, comme sur le sommet de la colline et le centre de la vallée de la figure 6, impose un réseau caractérisé par des lignes d'écoulement verticales en correspondance des deux axes de symétrie. Dans le cas de la figure, pourtant, au pied de la pente le niveau d’eau dans un piézomètre idéal se trouve au dessus de la surface du sol, ce qui donne un coefficient de sécurité local plus faible que dans le cas de la pente infinie (écoulement ascendant); en correspondance du sommet, au dessous de la surface libre de la nappe le niveau piézométrique est inférieur a celui de la surface libre (écoulement descendant).

Fig 3 - 6 - Réseau d'écoulement en milieu homogène et isotrope caractérisé par une symétrie géométrique (d'après Patton et Hendron, 1971).

Il s’agit ci-dessus d’un cas simple concernant des sols homogènes. Plus généralement, les conditions hydrauliques aux limites de la pente dépendent d’une situation hydraulique souterraine à une échelle beaucoup plus grande : un exemple est donné dans la figure 7, qui montre comment une pente localisée fait partie d’un système complexe avec des perméabilités variables qui contrôlent les situations hydrauliques locales.

Fig. 3 - 7 - Influence de la situation hydraulique à grande échelle sur les réseaux d’écoulement locaux (Hodge et Freeze, 1977).

3 - 2 - 2 - 2 - Colline présentant une hétérogénéité en surface.

Une condition extrêmement défavorable pour la stabilité des pentes est provoquée par la présence en surface d’une couverture de sols de plus faible perméabilité (par exemple constituée par éboulis, colluvion etc.); cette situation peut déterminer des niveaux piézometriques importants juste au dessous de cette couverture, qui représente une barrière pour le mouvement de l’eau (fig. 8).

Fig. 3 - 8 - Variation des caractéristiques de l'écoulement provoquée par la déposition en surface de matériaux de faible perméabilité (d'après Patton et Hendron, 1971)

Une situation tout à fait particulière se vérifie dans les glissements de terrain, dont la perméabilité est généralement plus grande que dans la formation stable inférieure et change dans le temps par effet des mouvements, qui sont responsables de modifications de structure des terrains impliqués et de la formation de fractures (Iverson et Major, 1987).

Dans ce cas, la masse qui glisse devient un réservoir d’eau pour la formation sus- jacente et l’écoulement a une composante verticale.

3 - 2 - 2 - 3 - Colline présentant une hétérogénéité suivant des couches.

Un autre facteur influençant l’écoulement est la structure du sous-sol, généralement constitué de différentes couches, chacune caractérisée par différentes propriétés hydrauliques. En particulier, dans le cas de couches homogènes, le régime des pressions interstitielles est réglé par la géométrie du problème et le rapport de perméabilité entre les couches.

Bromhead (1986) reporte le cas d’une pente, drainée ou pas en profondeur, soit dans le cas de coefficient de perméabilité constant que de coefficient de perméabilité décroissant avec la profondeur: la solution qualitative des quatre cas considérés est reportée dans la figure 9 et montre que les pressions

interstitielles obtenues en présence d'une couche drainante inférieure sont beaucoup plus faibles que celles obtenues dans le cas de sol homogène: cela influence favorablement la stabilité (écoulement descendant).

Fig. 3 - 9 - Distribution des pressions interstitielles à l'intérieur d'une pente, drainée ou non drainée à la base (d'après Bromhead, 1986)

Vallée

L’évolution géomorphologique des vallées du Québec décrite par Lefebvre (1984) dans une étude sur l’hydraulique souterraine de ces régions, publiée par Lafleur et Lefebvre en 1980, est une excellente preuve du rôle de l’écoulement sur la stabilité des pentes.

La stratigraphie du sous-sol dans toute la région est représentée dans la figure 10; elle est constituée par:

une croûte argileuse superficielle assez perméable (K10^-7m/s);

un dépôt d'argile de faible perméabilité (K10^-10m/s);

une couche inférieure constituée par des terrains morainiques de perméabilité plus grande (K10^-9m/s) que dans les argiles.

Dans cette situation géologique, le lit des rivières qui traversent la région est plus ou moins proche de la couche drainante inférieure (moraines), selon les conditions locales d’érosion. Une analyse numérique effectuée en conditions d’écoulement permanent (Lafleur et Lefebvre, 1980), montre que les caractéristiques du mouvement de l’eau dépendent uniquement de la position de la couche perméable inférieure par rapport au fond de la vallée (fig. 11). En particulier, lorsque l’érosion rejoint les terrains morainiques ou est très proche d’eux, la direction d’écoulement présente une forte composante descendante stabilisatrice; au contraire, si le fond de la vallée est loin de la couche inférieure, il y a de remarquables gradients hydrauliques ascendants déstabilisateurs. Les schémas d’écoulement influencent très fortement la stabilité des rives des rivières étudiées. (Lefebvre, 1984). Ces résultats ont été confirmés par les données piézométriques obtenues dans les sites étudiés.

Dans la phase initiale de l’érosion, quand la présence de la couche inférieure plus perméable n’influence pas l’écoulement, les conditions de stabilité sont normales. Dans la phase suivante, lorsque les forces d’écoulement ascendantes commencent à avoir une importante composante verticale, les conditions de stabilité sont les pires: dans cette situation l’évolution géomorphologique est très rapide, étant caractérisée soit par l’approfondissement que par l’élargissement de la vallée à cause d’importants glissements de terrain. Dans la phase finale, l’eau s’écoule vers la couche drainante inférieure; pourtant, les forces d’entraînement ont une importante composante stabilisante. Dans cette situation géologique, on assiste à la formation sur les pentes de couches d’altération, intéressées par des glissements superficiels.

Fig. 3 - 10 - Schémas de sous-sol étudiés par Lafleur et Lefebvre (1980) pour l'analyse de l’écoulement dans les vallées du Québec

Fig. 3 - 11 - Réseaux type d'écoulement dans le sous-sol des vallées du Québec (d'après Lafleur et Lefebvre, 1980).

Rôle de la stratification et des fissures

Dans une étude très détaillée (Gosset et al, 1975) montrent l’influence du rapport de perméabilité entre les deux couches mises à jour lors d’une excavation, ce qui influence grandement la stabilité. (fig 3 - 12)

Fig 3 - 12 - Ecoulement de la tranchée du Tronchon. (Gosset et al, 1975)

La présence de couches horizontales de faible perméabilité intercalées dans des sols de perméabilité plus élevée est une situation stratigraphique plutôt fréquente, en particulier dans les régions occupées par des dépôts sédimentaires. Cette situation a été étudiée par Roulon et Freeze (1985), qui ont utilisé un logiciel aux élément finis qui tient compte de l'infiltration et peut considérer la présence de sols partiellement saturés. L’étude a permis de vérifier que la présence de couches moins perméables est responsable de la formation de zones saturées et de zones partiellement saturées au dessus et au dessous des couches moins perméables (fig. 13).

Rôle des fissures et des circulations d’eau.

Une situation différente peut se rencontrer dans les argiles raides fracturées. L’eau circule souvent dans des fissures ou des boyaux et il est très difficile d’en tenir compte, le système hydraulique n’étant plus continu. L’eau accumulée dans les fractures est soumise à des pressions locales qui sont indépendantes de la pression agissant dans la matrice poreuse.

Pour le glissement de Melfi, une étude très soigneuse des données et des observations morphologiques faites sur le terrain, permet d’expliquer le phénomène par le mécanisme de la figure 14, pour lequel le glissement est le résultat du mouvement d’une série de blocs d’argile soumis à la poussée de l’eau infiltrée dans les fractures verticales ouvertes après excavation (“cleft pressures”). (Picarelli et al., 1987)

Fig. 3 - 14 - Glissement de Melfi: mécanisme supposé du phénomène du 1980.

Dans l’hypothèse de fractures verticales complètement remplies d’eau, avec un angle de frottement résiduel de 20° et une épaisseur de la masse en mouvement de 11 m, la rupture peut être justifiée par une longueur des blocs d’environ 30 m, ce qui est à peu près la distance moyenne entre le fractures observées sur le sol.

La pente fut stabilisée par une parois de pieux de grand diamètre (1.2 m).

Les circulations d’eau dans des systèmes de fissures ou de boyaux conduit à des temps de réponse du glissement, après une pluie extrêmement courts.

3. Modélisation

Etude d’un écoulement dans le temps.

Pour connaître avec suffisamment de précision l’hydraulique d’une pente, une étude dans la durée est nécessaire. L’étude d’un cycle annuel est un minimum, deux à trois années de mesures sont en général suffisantes, sauf si l’on est dans des conditions climatiques exceptionnelles. (Voir cas de Rognac et de London Street cités précédemment)

Si l’on veut maîtriser l’évolution des phénomènes hydrauliques, la mesure des pressions interstitielles en différents points du massif constitue donc une étape essentielle à toute analyse de stabilité d'une pente. Il faut cependant être conscient que ces mesures sont ponctuelles, généralement en nombre relativement faible, et que l'extrapolation à l'ensemble de la pente et l'établissement de courbes équipotentielles ou équipressions est toujours délicate. Elle peut parfois se faire de manière manuelle où avec des logiciels d'interpolation simples. Elle peut aussi se faire en utilisant des logiciels permettant l'établissement d'un réseau d'écoulement en essayant de retrouver les conditions limites qui conduisent à des valeurs identiques aux mesures, c’est de l’analyse à rebours.

Quand la géométrie du site, les conditions limites sont trop complexes, une approche globale du système hydraulique d’une pente peut être faite. Deux techniques existent.

Simulation de la piézométrie à partir de la pluviométrie

Modèle d’ajustement αj, β, γ, Hmin

Approche statistique xj

Modèle à un réservoir (3 types) a, b, c, k, n

Modèle à deux réservoirs a, b, k0, k1, k2, kd, n1, n2

Simulation des déplacements à partir de la piézométrie

Modèle exponentiel de type α α, Ho

Modèle exponentiel de type β β

Modèle basé sur le fluage Hrupt, c’, φ, α, s1, υo, T

Modèles réservoirs

Modèle ‘Réservoir’

Devant toutes les difficultés de modélisation d’une pente complexe, une approche globale peut être préférée. Le cas de Séchilienne en est un exemple. La toponymie des lieux est déjà un indice, le sommet de la pente étant dénommé « Le Mont Sec ». En effet dans ce massif fracturé, aucun écoulement d’eau est apparent (voir fig. XX). Des mesures sur plusieurs années montre une corrélation évidente, avec parfois un temps de retard, entre la vitesse du mouvement et la pluviométrie. Un système de réservoirs peut alors simuler les mouvements de l’eau à l’intérieur du massif. Le système imaginé est composé de trois réservoirs. (fig. 25)

Le premier, le principal, correspond à l’environnement amont du glissement et reçoit toute l’eau amont. Par le jeux des fractures il se vide, soit directement dans la rivière de vallée, soit dans un second réservoir qui correspond à la zone du glissement. Ce dernier se vide à son tour, soit directement dans la vallée, soit dans un troisième réservoir qui représente la réponse hydraulique du système, c’est à dire une valeur moyenne des pressions interstitielles qui règnent sous le glissement. Ce troisième réservoir peut se remplir par le bas, ce qui correspond à un transfert d’eau des deux précédents réservoirs dont l’exutoire vers la rivière est limité par la perméabilité du milieu. En effet, dans ce type de modèle, les diamètres des différents ‘tuyaux’ qui relient les réservoirs correspondent à la perméabilité des milieux.

fig 3 - 25 - Modèle réservoir utilisé pour le glissement de Séchilienne.

Pour un glissement comme celui de Séchilienne, la vitesse de déplacement, de l’ordre de quelques centimètres par mois, fluctue en fonction des pressions interstitielles u, ces dernières étant directement liées au coefficient de sécurité par la relation globalisée

F = t_max / t, avec t_max = c’ + ( s - u ) tan j’ .

Et plusieurs études ont montré que la vitesse de déplacement est reliée au coefficient de sécurité par une fonction de type hyperbolique. (fig. 26) (Pouget et al., 19XX)

Fig 3 - 26 - Relation entre coefficient de sécurité et vitesse de déplacement.

Le modèle que l’on cherche à caler possède comme entrée la pluviométrie du site, et non pas celle de la plus proche station météo, et en sortie la vitesse de déplacement du glissement. Pour Séchilienne, par tâtonnements, il a été observé que l’usage de six mois de mesures permet de prédire le comportement du massif sur un mois. Ceci, à condition qu’aucun changement ne se produise au sein du massif, comme une rupture localisée, qui changerait la physique du problème, donc invaliderait le modèle. Autrement dit, cette approche ne peut prédire la rupture du massif, mais permet de dire si le phénomène étudié reste stable. (Jolly et al., 1998)

Exemple Modèle réservoir

Le modèle à un réservoir

Ce modèle, proposé par RM FAURE (voir bibliographie [1]), a été ‘amélioré’ avec l’ajout d’un nouveau paramètre c prenant en compte la température.

Cette modélisation consiste à assimiler le glissement de terrain étudié à un réservoir plus ou moins rempli d’eau, alimenté en eau par la pluie, perdant une partie de son contenu par évapotranspiration et vidangé par l’intermédiaire d’une canalisation.

L’équation de récurrence entre les hauteurs d’eau successives dépend du choix de la relation entre le débit sortant Q du massif et la hauteur piézométrique H. Les variations de Q vont dans le même sens que celles de H. Trois relations, utilisant un unique paramètre et respectant cette remarque, ont étés proposées : Q=H/k, Q=H^0.5/k (découle de la formule du débit de Torricelli) et Q=H²/k..

On obtient, trois équations différentes (voir Equations 3, 4 et 5) en partant de la relation entre Q et H et de l’équation de conservation de la masse que l’on moyenne entre deux relevés (t et t + 1).

Équation 3 : Récurrence entre les piézométries du modèle à un réservoir du type Q=H/k

Équation 4 : Récurrence entre les piézométries du modèle à un réservoir du type Q=H^0.5/k

Équation 5: Récurrence entre les piézométries du modèle à un réservoir du type Q=H²/k

Ce modèle, existant au départ sans le paramètre lié à la température, avait comme principal inconvénient de ne pas prendre en compte l’évapotranspiration (voir BURLON [10]) mais l’ajout de la contribution de la température à des pertes d’eau permet d’une manière simplifiée de tenir compte de ce phénomène important en hydraulique.

Maintenant l’inconvénient principal est la difficulté d’analyse de la signification du paramètre k dépendant du choix de la relation liant Q et H.

De plus, le calage de ces modèles peut s’avérer difficile.

Mais, on a tout de même retenu ce modèle qui a l’avantage d’être parlant au niveau des phénomènes mis en jeu et de la provenance des différentes équations.

(Pour plus de précisions concernant ces modèles et leurs résultats voir Annexe A.2)

Le modèle à deux réservoirs

Ce modèle a été, lui aussi, proposé par RM FAURE [1] et comme pour celui à un réservoir, le massif est modélisé en temps que succession de deux réservoirs plus ou moins remplis d’eau, alimentés en eau par la pluie et communiquant entre eux par l’intermédiaire de canalisations.

La relation, entre le débit et la hauteur d’eau utilisée pour aboutir au résultat, est du type Q=H/k. (c’est la relation qui semble donner les meilleurs résultats dans le modèle à un réservoir).

Cette modélisation donne, après la résolution des diverses équations, une relation de récurrence entre les hauteurs d’eau des deux réservoirs en question (voir Equation 6) dépendant de 8 paramètres (voir équation 7) découlant eux-mêmes de paramètres spécifiques (au nombre de 6) du même type que le modèle à un réservoir.

Équation 6 : Récurrence sur les piézométries du modèle à deux réservoirs

Équation 7 : Les paramètres du modèle à deux réservoirs

Ce modèle n’a pas été retenu au vu de multiples remarques :

calage difficile au vu du nombre de paramètres (au nombre de 6),
hauteur d’eau du premier réservoir inconnue (ce qui rajoute encore un paramètre de calage),
difficulté de mise en œuvre des calculs,
non prise en compte de la température du fait de la complexité de la résolution de l’équation différentielle à l’origine de ce modèle (le paramètre c n’a pas pu être rajouté).

Modèle analytique

3 - 4 - 1 - Cas général.

On considère le plus souvent que les conditions d'écoulement dans les sols sont stationnaires et peuvent être obtenues, ou confirmées, par des techniques de construction de réseaux d'écoulement basées sur la résolution de Laplaciens. On obtient donc un champ de pressions interstitielles qui sera introduit dans le programme de calcul de stabilité. Pour cela il faut être sur d’avoir un écoulement qui corresponde aux conditions raisonnablement les plus défavorables. Mais il y a cependant de nombreuses exceptions à ces conditions, essentiellement lorsque l’on prendre en compte le temps.

Il y aura alors, autant de calculs à faire que de réseaux représentatifs de l’écoulement dans le temps. Il ne faut pas oublier aussi que d’autres phénomènes transitoires peuvent apparaître comme pour les séismes ou pour les barrages en terre lors de vidange rapides.

Lorsqu'un logiciel d'écoulement à surface libre est utilisé, un certain nombre de précautions doivent être prises:

- le maillage doit être de dimensions telles que les résultats ne soient pas influencés;

- les conditions aux limites doivent être choisies en fonction des conditions régionales, stratigraphiques et climatiques;

- les perméabilités des différentes couches (plus exactement les rapports entre les différentes perméabilités) et leur anisotropie doivent être choisies avec précautions. Il s'agit d'un exercice délicat, la perméabilité étant un paramètre difficile à définir avec une précision supérieure à un facteur 10.

3 - 4 - 2 - Etude d’un écoulement dans le temps.

Pour connaître avec suffisamment de précision l’hydraulique d’une pente, une étude dans la durée est nécessaire. L’étude d’un cycle annuel est un minimum, deux à trois années de mesures sont en général suffisantes, sauf si l’on est dans des conditions climatiques exceptionnelles. (Voir cas de Rognac et de London Street cités précédemment)

Si l’on veut maîtriser l’évolution des phénomènes hydrauliques, la mesure des pressions interstitielles en différents points du massif constitue donc une étape essentielle à toute analyse de stabilité d'une pente. Il faut cependant être conscient que ces mesures sont ponctuelles, généralement en nombre relativement faible, et que l'extrapolation à l'ensemble de la pente et l'établissement de courbes équipotentielles ou équipressions est toujours délicate. Elle peut parfois se faire de manière manuelle où avec des logiciels d'interpolation simples. Elle peut aussi se faire en utilisant des logiciels permettant l'établissement d'un réseau d'écoulement en essayant de retrouver les conditions limites qui conduisent à des valeurs identiques aux mesures, c’est de l’analyse à rebours.

Quand la géométrie du site, les conditions limites sont trop complexes, une approche globale du système hydraulique d’une pente peut être faite. Deux techniques existent.

Modèles reliant la pluviométrie à la piézométrie

Cette méthode de calcul est assez intuitive. On considère ici que les variations de la nappe dans le temps sont la somme des effets des différents paramètres météorologiques variants dans le temps (température et pluviométrie) et du niveau de remplissage de la nappe

Ces hypothèses se traduisent par différentes contributions à la hauteur de la nappe :

une contribution spécifique à la température (qui entraîne une diminution de la piézométrie par évapotranspiration),
une contribution spécifique pour la pluie moyenne sur différentes périodes (qui entraînent une augmentation de la piézométrie par l’infiltration),
et une contribution spécifique suivant le niveau de remplissage du réservoir par rapport à un niveau de référence (qui entraîne une diminution de la piézométrie par vidange du réservoir).

L’équation de récurrence sur la piézométrie découlant de ces remarques (voir Equation 1) a été proposée par R.M FAURE (voir bibliographie [1]).

Équation 1: Relation entre les piézométries pour le modèle d'ajustement

Où :

H_nest la hauteur d’eau au relevé n,
H_n+1est la hauteur d’eau au relevé n+1,
H_minest la hauteur d’eau à l’étiage,
P_j est la pluie moyenne tombée durant les j relevés précédents,
T_j est la température au relevé j,
β est un coefficient traduisant la réponse du massif à une pluie (terme de vidange).

Les avantages de ce modèle sont la facilité d™analyse des valeurs des paramètres qui donnent clairement le ‘poids’ de chaque contribution aux variations de la nappe ainsi que la fiabilité du calage.

Par contre, le problème principal de ce modèle est de considérer la température comme unique phénomène entraînant la perte d’eau par évapotranspiration (alors que ce phénomène met en jeu de nombreux paramètres allant de la couleur du sol, à la vitesse du vent et au rayonnement solaire en passant par la densité de la végétation).

(Pour plus de précisions concernant ce modèle et ses résultats voir Annexe A.1)

L’approche statistique

Ce modèle (proposé par BURLON [10]) est une adaptation de la méthode des réseaux de neurones (développée par Vuillet).

C’est la minimisation de la somme des écarts au carré entre la piézométrie et la somme des contributions des données météorologiques (voir Equation 2).

Équation 2 : Valeur à minimiser pour le calage de l’approche statistique

Où :

H_i les hauteurs piézométriques,
x_jles différents paramètres à caler,
a_ijla donnée météorologique de type j mesuré relevé i,
n le nombre de relevés fixés pour le calage,
m le nombre de paramètres à caler.

Les inconvénients d’un modèle de ce type sont principalement liés à la méthode de résolution qui utilise des méthodes que PHP ne permet pas (par inversion de matrice) ou qui ne correspondent pas à ce que l’on fait pour les autres modèles (par régression linéaire).

De plus, le principe de cette approche est le même que celui la méthode d’ajustement (contribution des différentes données météorologique).

Utilisation des réseaux de neurones.

Pour prévoir le déplacement d’une pente en fonction de la pluviométrie, l’utilisation de réseaux de neurones est une solution élégante. La phase d’apprentissage du programme informatique, se fait sur des jeux de données connues, pluviométrie et déplacements mesurés sur une période et fournis à la machine avec des pondérations obtenues principalement par moyennes glissantes. (Vuillet et al., 1996). Les résultats sont très corrects pour la prédiction, mais pour l’ingénieur le coté ‘boite noire’ de l’approche est un peu frustrant.

Et avec cette approche, la même limitation que précédemment existe, les conditions physiques de l’écoulement doivent être constantes dans le temps, on ne peut donc prédire la rupture du massif étudié.

4. Dynamiques

Ce chapitre donne les bases du calcul des écoulements dans un sol

Equations

Equations de base de l'hydraulique des sols

h = u / g_w + z, ce qui définit la charge hydraulique et u correspond à la pression de l’eau, la pression interstitielle. Gw est le poids spécifique de l’eau (10kN/m3), z une référence verticale (côte) choisie judicieusement pour des calculs plus lisibles.

v = k i, détermine la vitesse de l’écoulement, produit du gradient i de la charge, par la perméabilité du sol k. C’est la loi de Darcy. La perméabilité k est difficile à déterminer avec précision et présente un caractère anisotropique important. Du sable à l’argile, elle varie de 10 ^-3 m/s à 10 ^-12 m/s. Pour deux sols différents, si le rapport de perméabilité dépasse 100, un des sols peut être considéré comme imperméable par rapport à l’autre.

Type de sol	k : perméabilité en cm/s
Graves	10 ² à 10 ^{- 1}
Sables	10 ^{- 1} à 10 ^{- 3}
Limons	10 ^{- 3} à 10 ^{- 7}
Argiles	10 ^{- 7} à 10 ^{- 11}
Roches non fissurées	10 ^{- 8} à 10 ^{- 10}

Tab 3 - 1 - Valeurs de perméabilité

Dh = 0, cette équation, qui traduit la conservation de l’eau dans un sol permet de résoudre l’écoulement, c’est à dire déterminer en tout point du domaine la charge, donc la vitesse et la pression interstitielle. L’écoulement peut être représenté par ses lignes de courant et ses équipotentielles. Cette résolution d’équations différentielles ne peut être accomplie que si les conditions limites de l’écoulement sont connues, ce qui est parfois très délicat et il y a souvent, de nombreuses hypothèses simplificatrices à poser.

E = i V g_w , traduit le fait qu’un sol parcouru par un écoulement est soumis à des forces d’entraînement volumique. Lorsque l’écoulement est ascendant, il y a alors risque de renard. Le gradient critique i_c = g’ / g_w, est la limite du gradient vertical avant boulance du sol.

mesure de la perméabilité

Piézométrie

Privilégier une lanterne au lieu d'un piézomètre ouvert sur toute la hauteur.
Crépinage - à la main (faire attention), - industriel (de préférence).
Filtre : - géotextile (délicat),
- problème de la colle.
Variation - pression atmosphérique, (fente en tête).
Suivi dans le temps : une nécessité,
- relevés manuels,
- préférer relevés automatiques.

Mesure de la perméabilité avec un infiltromètre à double anneau.

Formule de Porchet

Essai Nasberg

Essai Lefranc

anisotropie

Existance de l'anisotropie

L'anisotropie de perméabilité des sols est une donnée importante

qu'il faut savoir mesurer.

Plusieurs essais Lefranc permettent d'approcher alpha

Des essais de pompage permettent aussi de connaître l'anisotropie

Si le puits ne descend pas jusqu'au substratum, il est imparfait

Aquifères dans une pente

Une pente définit un haut et un bas. Un écoulement va donc se produire de haut en bas, mais suivant la complexité géologique du sol, différents types d'écoulement peuvent se produire, qui dépendent aussi des conditions limites toujours difficiles à déterminer.

Dans ce paragraphe les écoulements considérés sont des écoulements stationnaires, qui ne dépendent pas du temps.

Prendre en compte les conditions limites du problème

Types d'écoulement

Circulations erratiques
- Boyaux
- Veines sableuses
- Zones broyées
- Karst
Aquifères
- unique à surface libre
- en charge
- multiples
Autres cas
- Pompage capillaire
- Electro-osmose

Cas type d'écoulement

Cas de la pente infinie.

Dans le cas d’un milieu saturé, homogène et isotrope, pour un écoulement unidimensionnel en régime permanent, le réseau d'écoulement de la pente infinie peut être déterminé sans aucune difficulté analytique.

Ecoulement uniforme d’inclinaison variable.

L’écoulement parallèle à la surface du terrain est le cas le plus souvent considéré dans les calculs, car ce cas correspondant à beaucoup de situations réelles : il est caractéristique de pentes constituées par une couche homogène d’épaisseur constante couvrant une formation de perméabilité très faible, comme dans le cas des argiles raides, qui ont toujours une couverture altérée.

Si le sol est isotrope, les équipotentielles sont normales aux lignes d'écoulement et la surface du sol représente une ligne d’écoulement. En considérant que le long d'une équipotentielle la charge hydraulique h est constante, on peut facilement calculer la pression de l'eau, qui est égale à la différence d’altitude entre le point considéré et le point d’intersection de l'équipotentielle avec la surface libre. Cette valeur est fonction de l'inclinaison de la pente et de l’inclinaison a des lignes d’écoulement.

Le cas d’écoulement vertical vers le bas est aussi possible, en présence d’une couche très perméable en profondeur.

S’il y a écoulement descendant, la pression interstitielle au point considéré est plus faible que ce qu’elle serait s’il n’y avait pas d’écoulement; s’il y a écoulement ascendant, la pression interstitielle est plus grande.

On remarque que la direction d'écoulement joue un rôle très important sur les pressions interstitielles. En particulier, à la profondeur zde la surface de la nappe, la pression d’eau peut varier entre 0 (cas d'écoulement vertical vers le bas) et u = g_sat *z (cas d'écoulement, en direction perpendiculaire, vers la surface du terrain,).

Donc, la direction d’écoulement influence beaucoup l'état de contrainte effective et de ce fait le coefficient de sécurité défini par t_max / t = c’ + (s - u) tan j ’ .(1).

Dans les sols partiellement saturés à granulométrie fine (limons et argiles), la valeur de u à introduire dans l’expression (1) est négative, c’est la succion qui dépend de la granulométrie et du degré de saturation du sol. Comme il est fonction de u, le coefficient de sécurité peut être important. Mais l’annulation des pressions négatives capillaires (due par exemple à des pluies intenses et prolongées) peut réduire le coefficient de sécurité jusqu’à la rupture, ce qui est typique de régions à climat très chaud (Brand, 1987).

Ecoulement uniforme dans une pente dont la perméabilité varie avec la profondeur.

Les variations de perméabilité qui intéressent les sols homogènes caractérisés par un degré de surconsolidation faible, dont la porosité dépend de l’état de contrainte, influencent remarquablement les caractéristiques d’écoulement et la distribution des pressions interstitielles.

Le problème a été étudié par Iverson (1990) qui a analysé le cas de la pente infinie. La figure 4 montre le réseau d'écoulement théorique obtenu pour un coefficient de perméabilité variable avec la profondeur selon l’expression k=y²(y étant l'abscisse en direction normale à la surface du terrain).

Ecoulement dans une pente réelle

La présence de conditions de symétrie géométrique, comme sur le sommet de la colline et le centre de la vallée impose un réseau caractérisé par des lignes d'écoulement verticales en correspondance des deux axes de symétrie. Dans ce cas, au pied de la pente le niveau d’eau dans un piézomètre idéal se trouve au dessus de la surface du sol, ce qui donne un coefficient de sécurité local plus faible que dans le cas de la pente infinie (écoulement ascendant); par contre, au sommet, au dessous de la surface libre de la nappe le niveau piézométrique est inférieur a celui de la surface libre (écoulement descendant).

Colline présentant une hétérogénéité en surface.

Une condition extrêmement défavorable pour la stabilité des pentes est provoquée par la présence en surface d’une couverture de sols de plus faible perméabilité (par exemple constituée par éboulis, colluvion etc.); cette situation peut déterminer des niveaux piézometriques importants juste au dessous de cette couverture, qui représente une barrière pour le mouvement de l’eau.

Colline présentant une hétérogénéité suivant des couches.

Un autre facteur influençant l’écoulement est la structure du sous-sol, généralement constitué de différentes couches, chacune caractérisée par différentes propriétés hydrauliques. En particulier, dans le cas de couches homogènes, le régime des pressions interstitielles est réglé par la géométrie du problème et le rapport de perméabilité entre les couches.

Bromhead (1986) reporte le cas d’une pente aussi bien dans le cas de coefficient de perméabilité constant que de coefficient de perméabilité décroissant avec la profondeur et montre que les pressions interstitielles obtenues en présence d'une couche drainante inférieure sont beaucoup plus faibles que celles obtenues dans le cas de sol homogène: cela influence favorablement la stabilité (écoulement descendant).

Ecoulement uniforme dans une pente dont la perméabilité est anisotrope.

L'anisotropie de la perméabilité aussi exerce une influence remarquable sur le régime des pressions interstitielles. Ci-dessous on montre la distribution de la pression interstitielle le long d’une surface de glissement potentielle pour différentes hypothèses sur l’anisotropie : la situation plus défavorable est obtenue lorsque l’axe principal de perméabilité est parallèle à la pente.

Rôle de l'évolution géomorphologique

L’évolution géomorphologique des vallées du Québec décrite par Lefebvre (1984) dans une étude sur l’hydraulique souterraine de ces régions, publiée par Lafleur et Lefebvre en 1980, est une excellente preuve du rôle de l’écoulement sur la stabilité des pentes.

La stratigraphie du sous-sol dans toute la région est représentée dans la figure 10; elle est constituée par:

une croûte argileuse superficielle assez perméable (K10^-7m/s);

un dépôt d'argile de faible perméabilité (K10^-10m/s);

une couche inférieure constituée par des terrains morainiques de perméabilité plus grande (K10^-9m/s) que dans les argiles.

Dans cette situation géologique, le lit des rivières qui traversent la région est plus ou moins proche de la couche drainante inférieure (moraines), selon les conditions locales d’érosion. Une analyse numérique effectuée en conditions d’écoulement permanent (Lafleur et Lefebvre, 1980), montre que les caractéristiques du mouvement de l’eau dépendent uniquement de la position de la couche perméable inférieure par rapport au fond de la vallée. En particulier, lorsque l’érosion rejoint les terrains morainiques ou est très proche d’eux, la direction d’écoulement présente une forte composante descendante stabilisatrice; au contraire, si le fond de la vallée est loin de la couche inférieure, il y a de remarquables gradients hydrauliques ascendants déstabilisateurs. Les schémas d’écoulement influencent très fortement la stabilité des rives des rivières étudiées. (Lefebvre, 1984). Ces résultats ont été confirmés par les données piézométriques obtenues dans les sites étudiés.

Dans la phase initiale de l’érosion, quand la présence de la couche inférieure plus perméable n’influence pas l’écoulement, les conditions de stabilité sont normales. Dans la phase suivante, lorsque les forces d’écoulement ascendantes commencent à avoir une importante composante verticale, les conditions de stabilité sont les pires: dans cette situation l’évolution géomorphologique est très rapide, étant caractérisée soit par l’approfondissement que par l’élargissement de la vallée à cause d’importants glissements de terrain. Dans la phase finale, l’eau s’écoule vers la couche drainante inférieure; pourtant, les forces d’entraînement ont une importante composante stabilisante. Dans cette situation géologique, on assiste à la formation sur les pentes de couches d’altération, intéressées par des glissements superficiels.

Dans une étude très détaillée (Tranchée du Tronchon au Nord de Lyon) (Gosset et al, 1975) montrent l’influence du rapport de perméabilité entre les deux couches mises à jour lors d’une excavation, ce qui influence grandement la stabilité.

La présence de couches horizontales de faible perméabilité intercalées dans des sols de perméabilité plus élevée est une situation stratigraphique plutôt fréquente, en particulier dans les régions occupées par des dépôts sédimentaires. Cette situation a été étudiée par Roulon et Freeze (1985), qui ont utilisé un logiciel aux élément finis qui tient compte de l'infiltration et peut considérer la présence de sols partiellement saturés. L’étude a permis de vérifier que la présence de couches moins perméables est responsable de la formation de zones saturées et de zones partiellement saturées au dessus et au dessous des couches moins perméables.

Les pressions interstitielles dépendent du nombre et de l’épaisseur des couches moins perméables, de leur position et du rapport de perméabilité entre les différents sols. Les conséquences en termes de contraintes effectives sont remarquables et ne sont pas toujours considérées dans une analyse conventionnelle. Ce qui peut conduire à de graves erreurs.

Influence de la situation hydraulique à grande échelle sur les réseaux d’écoulement locaux

(Hodge et Freeze, 1977).

Rôle des fissures et des circulations d’eau.

Une situation différente peut se rencontrer dans les argiles raides fracturées. L’eau circule souvent dans des fissures ou des boyaux et il est très difficile d’en tenir compte, le système hydraulique n’étant plus continu. L’eau accumulée dans les fractures est soumise à des pressions locales qui sont indépendantes de la pression agissant dans la matrice poreuse.

Pour le glissement de Melfi, une étude très soigneuse des données et des observations morphologiques faites sur le terrain, permet d'affirmer quel le glissement est le résultat du mouvement d’une série de blocs d’argile soumis à la poussée de l’eau infiltrée dans les fractures verticales ouvertes après excavation (“cleft pressures”). (Picarelli et al., 1987). Dans l’hypothèse de fractures verticales complètement remplies d’eau, avec un angle de frottement résiduel de 20° et une épaisseur de la masse en mouvement de 11 m, la rupture peut être justifiée par une longueur des blocs d’environ 30 m, ce qui est à peu près la distance moyenne entre le fractures observées sur le sol.

La pente fut stabilisée par une parois de pieux de grand diamètre (1.2 m).

Les circulations d’eau dans des systèmes de fissures ou de boyaux conduit à des temps de réponse du glissement, après une pluie extrêmement courts.

Prise en compte du temps

Eléments temporels, réponse d’un système d’écoulement.

Une pente comporte un système hydraulique dont l’équilibre est sans arrêt modifié par des actions extérieures qui sont essentiellement de deux types. Le climat dont le principal agent sur une pente est la pluie ou la neige quand cette dernière fond. Cet apport d’eau en surface du sol va avoir plusieurs conséquences. Elle ruisselle et peu entraîner du sol, c’est l’érosion, mais le rôle le plus important de l’eau, est du à l’infiltration. Ces actions sont étalées dans le temps car la pluie est modulée dans le temps et les vitesses d’infiltration peuvent être faibles. L’action de l’homme, qui par ses aménagements peut détruire les équilibres mécanique et hydraulique, ce dernier modifiant à son tour l’équilibre mécanique, peut être aussi très préjudiciable à la pente. Le colmatage d’un exutoire, voulu ou non, peut être la cause, parfois tardive, d’un glissement.

Cas d’une couche horizontale soumise à la pluie.

(voir infiltration)

Dans le cas d’une couche horizontale la nappe s’établit à une certaine profondeur et est horizontale. La zone au- dessus de la nappe est non saturée.

Une pluie de courte durée modifie le degré de saturation de cette zone, sans jamais atteindre la saturation, puis après la pluie l’équilibre précédent est retrouvé.

Une pluie de plus longue durée va générer un front de saturation, qui à partir de la surface du sol va rejoindre la nappe. Si comme dans la plupart des cas, la pluie se termine bien avant que le front saturé atteigne la nappe, ce dernier disparaît.

Une pluie de très longue durée va générer un front de saturation qui va rejoindre la nappe et élever d’un seul coup les pressions interstitielles, et donc occasionner des conditions de rupture.

Pentes naturelles soumises à la pluie.

Kenney et Lau (1984) ont étudié une pente, où ils ont installé 65 piézomètres à de différentes profondeurs de la surface du terrain. Les mesures effectuées pendant 10 ans ont montré que les eaux souterraines ont un écoulement transitoire, caractérisé par des niveaux piézomètriques décroissants avec la profondeur.

Cette situation peut être justifiée considérant la variation cyclique des conditions hydrauliques aux limites. En effet la variation saisonnière des conditions hydrauliques est responsable de la modifications lente des pressions interstitielles, selon un processus de gonflement qui se propage lentement à l'intérieur de la masse du terrain à partir de haut.

La vitesse du phénomène dépend surtout de la perméabilité et de la déformabilité du sol et de la géométrie du problème. Les données obtenues démontrent que le processus n’atteint jamais une condition d'équilibre, parce- que le temps nécessaire est inférieur à la fréquence du cycle saisonnier qui contrôle les conditions hydrauliques aux limites. Chaque hiver, le gel produira la formation d’une croûte imperméable, le niveau de la nappe baissera et le terrain subira une réduction de volume.

Le cas des pentes naturelles formées de sols partiellement saturés est riche d’écoulements pas toujours faciles à expliquer.

Il a été déjà montré que dans les sols partiellement saturés, la stabilité des pentes dépend énormément des conditions de saturation des sols impliqués.

Toute modification de l’état de contrainte peut amener le sol à la rupture. Les mécanismes de rupture plus probables sont les suivants (Sorbino, 1994):

augmentation du degré de saturation et réduction de la succion en surface;
formation de zones saturées à l’intérieur des couches superficielles;
montée de la nappe profonde.

.

Le premier mécanisme a été reconnu dans les Pays tropicaux, ou les couches superficielles sont généralement caractérisées par un faible degré de saturation, qui assure un coefficient de sécurité assez grand, ce qui justifie la stabilité de pentes caractérisées par une inclinaison importante (Ching et al., 1984).

Comme il a été déjà montré (Rulon et Freeze, 1985), le deuxième mécanisme est typique de massifs qui présentent des couches moins perméables en profondeur. Tenant compte que le coefficient de perméabilité des sols est une fonction du degré de saturation S_ret qu’il augmente avec S_r, la formation de zones saturées à l’intérieur du massif peut être justifiée par l’influence des précipitations météoriques, qui provoquent une augmentation du degré de saturation et donc du coefficient de perméabilité en surface, favorisant l’infiltration, qui s’arrête dans les zones moins perméables plus profondes.

Evidemment, le phénomène se développe dans le temps en fonction des propriétés du sol. Vaughan (1985) a étudié des glissements qui ont intéressé des sols résiduels dans les îles Fidji. Il a considéré un profil de perméabilité décroissant avec la profondeur et a analysé l’évolution du réseau d’écoulement par effet de l’infiltration de haut. Avec ce modèle, il a été capable de prévoir le développement de pressions interstitielles de plus en plus croissantes en profondeur.

Le troisième mécanisme est considéré le plus probable dans plusieurs cas reportés dans la littérature. Un exemple d’étude numérique pour l’analyse de ce mécanisme est donné par Leach et Herbert (1982), qui ont analysé le régime des eau souterraines à Hong Kong par une technique aux différences finies et ont obtenu des résultats très intéressants en bon accord avec les données expérimentales.

Cas des excavations.

L’homme qui enlève une partie du sol, donc diminue rapidement les contraintes totales, du fait d’un gonflement du sol, perturbe sérieusement le régime des pressions interstitielles. Il y a alors rééquilibrage naturel. Bishop et Bjerrum, donnent une explication à ce phénomène (Bishop et al., 1960).

Dans le cas d'une excavation pour laquelle les pressions interstitielles reviennent progressivement à l'équilibre, il est intéressant de voir comment la surface de rupture potentielle la plus critique varie dans le temps. Le cas rapporté par Bromhead et Dixon (1984) est particulièrement intéressant à ce sujet. Une falaise dans l'argile de Londres présente une récurrence de rupture de 40 ans alors que le temps nécessaire à un équilibre total a été évalué à 2000 ans. Le rééquilibrage fait qu’en quarante ans les conditions hydrauliques sont suffisamment défavorables pour provoquer une rupture, qui déchargeant l’amont recrée des conditions favorables, ce qui fait que l’équilibre théorique demandant 2000 ans n’est jamais atteint.

Eigenbrod (1972) a étudié le problème de la dissipation des pressions interstitielles provoquées par une excavation en sol homogène et a proposé des abaques pour le calcul du temps nécessaire au rétablissement des conditions d’équilibre. Pour une pente donnée, ce temps est une fonction du coefficient de gonflement c_s et de la hauteur de l'excavation.

Le coefficient de pression interstitielle r_umesuré dans plusieurs talus excavés dans les argiles de Londres ou calculé par une analyse à rebours de glissements dans ces mêmes argiles (Skempton, 1977) montre que le temps de dissipation des pressions interstitielles est de l'ordre de quelques dizaines d'années. Cela montre bien que la condition critique est celle à long terme, lorsque les contraintes effectives diminuent du fait de la croissance des pressions interstitielles.

Après l'application de sollicitations telles que celles précédemment mentionnées, il faut un certain temps aux eaux souterraines pour revenir à des conditions stationnaires. On parle, par exemple, d'une cinquantaine d'années dans le cas d'une excavation d'une dizaine de mètres dans l'argile de Londres (Skempton, 1977). La seule manière fiable de connaître les pressions interstitielles dans le massif de sol est alors de les mesurer à l'aide de piézomètres. Aussi,les variations de pressions interstitielles aux limites, par exemple à proximité du terrain naturel, ne se transmettent que lentement en profondeur dans les dépôts peu perméables. Il s'ensuit que bien des dépôts sont en permanence dans des conditions transitoires, et que les pressions interstitielles ne peuvent être connues précisément que par mesures piézométriques à un instant donné, et connaître leur évolution est essentiel. Le cas de Bisaccia (Italie) est bien représentatif de ces redistributions bien que l’homme n’y soit pour rien, l’excavation est naturelle et a pour nom l’érosion.

Cas des coulées de boue.

Les études sur les coulées d’argiles semblent montrer que les mouvements sont cause et, en même temps, conséquence de surpressions interstitielles provoquées par la modification des contraintes totales suivant les mouvements mêmes (Picarelli et al., 1995).

Les mesures de pressions interstitielles et de déplacement obtenues dans une coulée d’argile dans l’Italie du Sud montrent que:

aux différents points de mesure les déplacements ne sont pas égaux : en particulier, il y a des zones de compressions, des zones d’extension et des zones où les mouvements sont tout à fait négligeables : cela s’explique par le mécanisme de rupture, qui semble être déterminé par la poussée de masses de terrains instables dans la zone d’alimentation;
le déplacements ne sont pas simultanés : il y a des zones qui se déplacent d’abord et des zones qui se déplacent successivement. Ceci confirme le mécanisme proposé.
dans certaines cas, la poussée déterminée par les masses instables est responsable d’une augmentation des pressions interstitielles: le processus se renouvelle alors par effet de l’accroissement de la mobilité locale.

Un mécanisme identique a été proposé par Hutchinson (1986), qui a étudié la coulée d’ Aberfan. Il a proposé un modèle permettant de calculer la vitesse de déplacement en tenant compte de l’influence de l’accroissement des contraintes effectives à cause du phénomène de consolidation qui suit la rupture non drainée..

Temps de réponse à la pluie.

Sans faire appel à des phénomènes de gonflement, les exemples suivants montrent que la réponse d’un système hydraulique à la pluie peu être déroutant et que le délai de réponse peut varier dans une très grande amplitude.

Dans le cas d'Aubenas, France (1972) les déplacements d'un remblai sur pente n'ont pu être corrélés aux pressions interstitielles qu'après enregistrement continu de ces dernières. En effet, les enregistrements ont montré que les pluies brèves et abondantes étaient suivies d'un accroissement rapide et important des pressions interstitielles (de l'ordre de 60 kPa), mais pour une période de temps très courte (quelques heures) et donc difficilement détectable lors d'une investigation standard.
Dans le cas du glissement de London Street à San Francisco rapporté par Duncan , les pressions interstitielles qui ont conduit à la rupture résultaient de trois années successives de pluies fortes mais non exceptionnelles.

Le cas ci-après illustre, non pas le délai de réponse du système hydraulique, mais l’erreur possible si les études sont faites lors de périodes non représentatives du régime hydraulique.

Dans le cas du talus de déblai de Rognac, France, (Colas et al. 1976), les investigations de terrain et les études ayant été faites en période de fort déficit hydrique (fig.24), des ruptures se sont produites en fin de construction alors que la pluviométrie annuelle était voisine de la moyenne. Des corrections ont été apportées pour tenir compte des conditions d'eaux souterraines observées à ce moment-là. Trois ans plus tard, cependant, alors que la pluviométrie devenait très importante et bien supérieure à la moyenne, de nouvelles ruptures se sont produites. Ceci met en évidence la nécessité de prendre en compte dans les calculs de stabilité des conditions les plus défavorables que l’on ne peut quantifier qu’après plusieurs cycles annuels d’obsevation.

Relation pluie - pression interstitielle

Pour connaître avec suffisamment de précision l’hydraulique d’une pente, une étude dans la durée est nécessaire. L’étude d’un cycle annuel est un minimum, deux à trois années de mesures sont en général suffisantes, sauf si l’on est dans des conditions climatiques exceptionnelles. (Voir cas de Rognac et de London Street cités précédemment)

Si l’on veut maîtriser l’évolution des phénomènes hydrauliques, la mesure des pressions interstitielles en différents points du massif constitue donc une étape essentielle à toute analyse de stabilité d'une pente. Il faut cependant être conscient que ces mesures sont ponctuelles, généralement en nombre relativement faible, et que l'extrapolation à l'ensemble de la pente et l'établissement de courbes équipotentielles ou équipressions est toujours délicate. Elle peut parfois se faire de manière manuelle où avec des logiciels d'interpolation simples. Elle peut aussi se faire en utilisant des logiciels permettant l'établissement d'un réseau d'écoulement en essayant de retrouver les conditions limites qui conduisent à des valeurs identiques aux mesures, c’est de l’analyse à rebours.

Plusieurs approches permettent la recherche de la relation entre la pluie et le niveau piézométrique de la nappe.

Utilisation d'un modèle analytique.

Le calage de la courbe de piézométrie peut s’effectuer à partir de la relation suivante :

avec : U_nla charge hydraulique du jour n exprimée en kPa

P_nles précipitations en mm du jour n

P_inles précipitations en mm du i^ème jour précédent le jour n

T_n la température en °C du jour n

b,g_i, les paramètres à caler

U_minla valeur de la charge hydraulique à l’étiage, elle est définie en fonction des différents relevés que l’on possède.

Le coefficient b traduit la vidange de la nappe. Les coefficients g₁, g₂ et g₃traduisent l’apport de la pluie et le coefficient g₄traduit le rôle de l’évapotranspiration à travers l’influence de la température.

Cette relation s™inspire donc des formules permettant de calculer l'évapotranspiration et des différentes publications ayant déjà abordé le thème des modèles de prévision pluviométrie – piézométrie.

Application à un cas réel : le Petit Caporal à Boulogne

Pour le calage des deux relevés, il n™a pas été utile de prendre en compte l™apport des pluies des 5 ou 10 derniers jours. Ceci traduit le fait que le glissement du Petit Caporal semble réagir immédiatement aux événements pluvieux. Ce résultat était relativement prévisible car le terrain étant relativement argileux, les écoulements sont difficiles et le niveau de la nappe a donc tendance à augmenter rapidement. Par ailleurs, les hauteurs de nappe ont été bornées par une valeur d’étiage U_minet une valeur U_maxqui traduit une côte maximale de la nappe pour éviter les dérives du modèle.

Les deux calages ont été réalisés sur 341 jours du 01/08/1999 au 06/07/20000. Ils sont relativement précis ( cf. graphiques 3 et 4 ). On peut, en effet, corréler de manière évidente les variations de la pluie et de la hauteur de nappe. Toutefois, des dérives sont observées entre les valeurs mesurées et les valeurs estimées. Cette différence pourrait traduire, comme on l’a déjà suggéré au paragraphe 1.3, un apport d’eau différé de la part des deux aquifères mais ce modèle n’a pas permis de vérifier cette hypothèse.

Graphique 3 : Modèle d’ajustement - Comparaison entre les charges hydrauliques

mesurées et estimées dans le cas du piézomètre 2

Graphique 4 : Modèle d’ajustement - Comparaison entre les charges hydrauliques

mesurées et estimées dans le cas du piézomètre 3

Les modèles-réservoirs

Devant toutes les difficultés de modélisation d’une pente complexe, une approche globale peut être préférée.

Les modèles-réservoirs reposent sur l’idée suivante. Il s’agit d’assimiler le glissement de terrain étudié à une succession de réservoirs plus ou moins remplis d’eau et communiquant entre eux par l’intermédiaire de canalisations. L’objectif, comme au paragraphe précédent, est d’estimer les variations de la pression interstitielle. Le principe de la méthode est de faire correspondre les différentes hauteurs d’eau, les débits d’entrée et de sortie ainsi que l’apport d’eau dû à la pluie. L’objectif n’est pas de traduire exactement le comportement hydrologique du terrain mais plutôt de construire un modèle fonctionnant comme une boîte noire et fournissant les mêmes réponses.

Dans le cas d’une modélisation à deux réservoirs, on obtient le schéma suivant :

Dans le cas du Petit Caporal, la connaissance du site permet seulement de définir un modèle à un seul réservoir ce qui ne devrait certainement pas permettre d’obtenir des résultats satisfaisants. En effet, comme on ne dispose pas de mesures piézométriques en amont du glissement, il est impossible de fixer un niveau de référence pour le premier réservoir du modèle et donc de mettre en œuvre un modèle à deux réservoirs. Il apparaît donc difficile de vérifier si l’idée de deux aquifères rechargeant la nappe sous le glissement est valable.

Le schéma de la modélisation étudiée est donc le suivant :

Habituellement, dans ce type de modèle, on relie H et Q par la relation suivante en supposant que la surface du modèle est une surface unité :

Q=H/k

avec H la charge hydraulique [L], Q le débit de sortie [LT^-1] et k un paramètre [T].

Ce paramètre k ne doit absolument pas être confondu avec la perméabilité K [LT^-1] d’un sol même si intuitivement il semble que l’on puisse les relier.

Cette relation traduit la dépendance linéaire entre le niveau de la nappe et le débit de sortie.

D'autres relations ont été aussi essayées :

Q=H^0.5/k avec k en [L^-0.5T^-1]
Q=H²/k avec en [LT^-1]

La première relation est inspirée de la formule de Torricelli . La seconde relation repose seulement sur l’idée que le débit de sortie est d’autant plus important que la hauteur d’eau est élevée. D’autres relations nécessitant l’emploi de paramètres différents existent.

Dans tous les cas, les calculs sont menés de la façon suivante :

On considère une variation dV du volume d’eau dans le réservoir :

dV=n(H(t+dt)-H(t))=a*Pdt-b*Qdt

avec P l’apport de pluie[LT^-1], n la porosité du massif, a et b des paramètres d’échelle

On considère la moyenne du débit de sortie Q entre les instants t et t+dt :

Q=0.5*(H(t)+H(t+dt)/k (si on utilise la relation linéaire entre le débit et la hauteur d’eau )

Dans les autres cas, on utilise : Q=0.5*(H(t)^0.5+H(t+dt)^0.5)/k

ou Q=0.5*(H(t)²+H(t+dt)²)/k

On exprime ainsi H(t+dt) en fonction de H(t) :

Il suffit de se fixer une valeur de H comme condition initiale et un pas de temps pour déterminer l’évolution des hauteurs piézométriques. L’obtention des charges hydrauliques U en kPa se fait par l’intermédiaire de la masse volumique de l’eau g_w. Les valeurs des pluies et des débits journaliers sont exprimées en mm. Les valeurs des paramètres a et b sont : a=0.1 et b=1.

Comparaison de différentes hypothèses avec un modèle réservoir

Le cas de Séchilienne en est un autre exemple. La toponymie des lieux est déjà un indice, le sommet de la pente étant dénommé « Le Mont Sec ». En effet dans ce massif fracturé, aucun écoulement d’eau est apparent . Des mesures sur plusieurs années montre une corrélation évidente, avec parfois un temps de retard, entre la vitesse du mouvement et la pluviométrie. Un système de réservoirs peut alors simuler les mouvements de l’eau à l’intérieur du massif.

Le premier, le principal, correspond à l’environnement amont du glissement et reçoit toute l’eau amont. Par le jeux des fractures il se vide, soit directement dans la rivière de vallée, soit dans un second réservoir qui correspond à la zone du glissement. Ce dernier se vide à son tour, soit directement dans la vallée, soit dans un troisième réservoir qui représente la réponse hydraulique du système, c’est à dire une valeur moyenne des pressions interstitielles qui règnent sous le glissement. Ce troisième réservoir peut se remplir par le bas, ce qui correspond à un transfert d’eau des deux précédents réservoirs dont l’exutoire vers la rivière est limité par la perméabilité du milieu. En effet, dans ce type de modèle, les diamètres des différents ‘tuyaux’ qui relient les réservoirs correspondent à la perméabilité des milieux.

Les calculs qui résultent d'un tel modèle sont assez fastidieux.

Approches statistiques

Les méthodes statistiques sont de plus en plus utilisées dans l’étude des glissements de terrains. Deux principales techniques sont habituellement utilisées : les réseaux de neurones et les méthodes de régression telles que la méthode des moindres carrés.

Les réseaux de neurones permettent, via des coefficients – poids entre les neurones, de faire correspondre une charge piézométrique à un ensemble de données météorologiques. Cette méthode nécessite un très grand nombre de données afin de déterminer entièrement tous les coefficients – poids. Par ailleurs, cette méthode doit être reconduite à chaque nouvelle prévision afin de déterminer une nouvelle fois l’ensemble des coefficients – poids.

Pour prévoir le déplacement d’une pente en fonction de la pluviométrie, l’utilisation de réseaux de neurones est une solution élégante. La phase d’apprentissage du programme informatique, se fait sur des jeux de données connues, pluviométrie et déplacements mesurés sur une période et fournis à la machine avec des pondérations obtenues principalement par moyennes glissantes. (Vuillet et al., 1996). Les résultats sont très corrects pour la prédiction, mais pour l’ingénieur le coté ‘boite noire’ de l’approche est un peu frustrant.

Et avec cette approche, la même limitation que précédemment existe, les conditions physiques de l’écoulement doivent être constantes dans le temps, on ne peut donc prédire la rupture du massif étudié.

La méthode des moindres carrés, appliquée à un problème de calage entre la pluviométrie et la piézométrie, consiste à minimiser la quantité suivante :

avec : y_iles valeursdes charges piézométriques en kPa corrigées du jour i ( ce ne sont pas exactement les charges piézométriques mesurées mais la différence entre les charges piézométriques et une charge piézométrique de référence égale à 26kPa ) x_jles différents paramètres à caler

a_ijla donnée météorologique de type j mesuré au jour j

n le nombre de jours fixé pour le calage

m le nombre de paramètres à caler

Pour minimiser h, il suffit d’écrire :

En considérant :

Y=(y_i)_i=1..n le vecteur colonne formé de l’ensemble des charges piézométriques corrigées pendant n jours
X=(x_j)_j=1..mle vecteur colonne formé de l’ensemble des paramètres à caler
A=(aij)_{i=1..n,j=1..m}la matrice formée de l’ensemble des données météorologiques de type j mesurées pour chaque jour i

On obtient finalement : X=(^tAA)^-1(tAY)

avec ^tZ la transposée de la matrice Z et Z^-1 l’inverse de la matrice Z dans le cas où celle-ci est inversible.

5. Pluviométrie

L'eau dans une pente provient de la pluie ou des écoulements dans le sol.

Comprendre cette alimentation c'est définir un modèle hydraulique.

Définir un modèle hydraulique n’est pas une chose facile. Les indices de terrain sont parfois ténus et des remises en cause sont inévitables. L’observation et le suivi sont primordiaux même si des outils numériques peuvent être des aides précieuses.

La coexistence de deux zones de sol, zone saturée et zone non saturée, rend la résolution de l’écoulement un peu plus délicate. Chaque élément de sol peut être en cours de saturation, c’est un accumulateur d’eau ; en cours de drainage, il fournit de l’eau à ses voisins ; ou saturé, il est parcouru par un écoulement. Cette modification du degré de saturation se traduit par une variation importante de la perméabilité.

Dans ce chapitre quelques notions essentielles sont précisées

L'alimentation par une rivière
L'alimentation par la pluie

Dans un pays tempéré comme la France on admet que, 61% des précipitations (neige et pluie confondues) sont soumises à l’évapotranspiration, 23% à l’infiltration dans le sol et seulement 16% alimentent les rivières et lacs par ruissellement.

La notion de profil hydrique

La pluviométrie est la quantité d'eau, par unité de temps, qu'apporte la pluie ou la neige.

Cette pluviométrie ne peut être étudiée que sur de longues périodes. Au moins une année pour une pente et l'on connaît ses variations entre année de sécheresse et année pluvieuse.

Le réchauffement climatique de la planète semble non pas modifier les apports en eaux, mais la façon dont ils arrivent dans le temps.

Le cycle de l'eau

Le cycle de l'eau peut être illustré par le schéma suivant (cours de géotechnique de JP Magnan)

Sol saturé et sol non saturé

Un sol possède un volume de vides qui peut contenir une certaine quantité d'eau. Si ce volume des vides est plein d'eau le sol est dit saturé.

La notion de nappe

Dans un sol, l'eau est soumise à la gravité et s'infiltre depuis la surface. A une certaine profondeur, pour des raisons de nature de sol(sol moins perméable par exemple), elle s'accumule dans une zone saturée dont la limite peut varier. Cette limite, entre zone saturée et zone non saturée est appelée surface libre de l'eau dans le sol ou nappe. Dans une pente la notion d'aquifère, zone de sol saturé, correspond à la zone d'accumulation de l'eau.

On peut aussi définir le profil de saturation qui est la variation de Sr en fonction de la profondeur et qui traduit la connaissance de l'état hydrique sur une verticale.

La pluie sur le sol

La pluie qui tombe sur le sol s'évapore, s'infiltre ou ruisselle. Pour connaître son influence sur la stabilité d'une pente il faut pouvoir différencier ces différents débits et quantifier le rôle de l'eau qui s'infiltre en terme de pression interstitielle. Les méthodes de calcul de stabilité des pentes introduisent la valeur de la pression interstitielle dans leurs formules. Un modèle a été établi, qui permet de calculer (voir partie calcul)

soit le profil de saturation d'un sol dans le temps, en fonction d'une pluviométrie.

soit le temps nécessaire à une pluie suffisante pour saturer toute la couche de sol. L'intensité de la pluie suffisante est aussi déterminée.

Evapotranspiration

Pluie efficace

La pluie efficace est la quantité d’eau qui va recharger l’aquifère , celle qui se répercute sur la stabilité en faisant varier les limites de la zone saturée. C'est la quantité d'eau de pluie diminuée de la quantité d’eau perdue par évapotranspiration. Ce thème a beaucoup été étudié par les hydrologues et par les agronomes. Les deux principales formules reliant l’évapotranspiration d’un sol aux conditions climatiques sont les suivantes.

La relation la plus aboutie, car résultant à la fois d’une approche expérimentale et théorique, est l’équation de Penman- Monteih, 1981 :

avec : ET₀ l’évapotranspiration potentielle ( en mm/s )

R_n le rayonnement net ( en W/m²)

D la pente de la courbe de pression de vapeur à la température moyenne de l’air ( en kPa/°C )

r la densité de l’air à pression constante (en kg/m³ )

C_pla capacité thermique de l’air humide (en kJ/kg/°C )

de la différence entre la pression de vapeur saturante e_set la pression effective dans l’air e_a( en kPa )

r_ala résistance aérodynamique ( en s/m )

l la chaleur latente de vaporisation de l’eau ( en MJ/kg )

g la constante psychométrique ( en kPa /°C )

La seconde formule, proposée par L.Turc en 1961 et principalement utilisée en France est :

avec : ET₀ l’évapotranspiration de référence décadaire

t la moyenne des températures calculée sur 10 jours (en °C )

R_gle rayonnement global décadaire ( en cal/cm²/jour )

Les différents paramètres présentés ci-dessus sont difficiles à obtenir pour un lieu précis du fait du nombre relativement faible de points de mesures qui existent. Par ailleurs, ces relations ont été développées pour les besoins des agronomes et possèdent donc une précision qui se révèle inutile pour le géotechnicien.

Dans de nombreux modèles on se contente de prendre uniquement en compte la température et la pluviométrie.

Par exemple, le calage de la courbe de piézométrie en fonction de la pluviométrie peut s’effectuer à partir de la relation suivante :

avec : U_nla charge hydraulique du jour n exprimée en kPa

P_nles précipitations en mm du jour n

P_inles précipitations en mm du i^ème jour précédent le jour n

T_n la température en °C du jour n

b,g_i, les paramètres à caler

U_minla valeur de la charge hydraulique à l’étiage, elle est définie en fonction des différents relevés que l’on possède.

Le coefficient b traduit la vidange de la nappe. Les coefficients g₁, g₂ et g₃traduisent l’apport de la pluie et le coefficient g₄traduit le rôle de l’évapotranspiration à travers l’influence de la température.

Cette relation s’inspire donc des formules permettant de calculer l’évapotranspiration et des différentes publications ayant déjà abordé le thème des modèles de prévision pluviométrie – piézométrie.

Infiltration

La pluie sur le sol se traduit par de l'eau qui s'infiltre dans le sol et de l'eau qui ruisselle.

Comme il faut, sur un talus, minimiser l'infiltration, on donne ici des repères pour une maîtrise de cette infiltration.

Exemple de calcul d'eau infiltrée:

S => surface offerte à l’infiltration

k =>   perméabilité   10^-3 m/s graves morainiques
                    10^-4 m/s sables propres
                    10^-5 m/s sables limoneux
                    10^-6 m/s limons + ou - sableux

si S = 10 ha et k = 5 x 10^-6 m³/s QI = 0.5 m³/s

QI est une valeur potentielle, pas la réalité

Pour favoriser la NON INFILTRATION DU RUISSELLEMENT SUPERFICIEL, il faut :

Imperméabiliser les fils d’eau des fossés ruisseaux - .
Imperméabiliser les accotements.
Eliminer les chevelus hydrographiques.
Eviter les parties fraîchement terrassées et foisonnées en tête,

Si : QI débit s’infiltrant et Qc débit capable d’infiltration

alors : QI £ Qc = k_SAT S

k_SAT10^-1 m/s Pierrier,

10^-2 m/s cailloux et blocs, légèrement sableux,

10^-3 m/s grave sableuse,

10^-4 m/s grave sablo-limoneuse,

10^-5 m/s sable molassique,

5 x 10^-6 m/s éboulis de schistes avec formes de pente non régulières.

Pour diminuer l'infiltration, il faut aussi:

Limiter les temps de parcours.
Gérer les contre-pentes.
Acheminer les eaux vers un exutoire hors glissement.

Cas de l'infiltration dans les fossés : attention le linéaire peut être important.

Exemples de configurations favorables aux infiltrations

Infiltrations en remblai et déblai

Cas du remblai sur pente, très sensible aux infiltrations et faisant parfois office de barrage, ce qui est très défavorable.

Profil hydrique

Rappels d’hydraulique des milieux poreux.

Dans un sol l’eau peut être en équilibre, sans écoulement apparent, et une limite existe entre la zone saturée et celle non saturée. Cette limite, horizontale si équilibre, s’appelle la nappe. Elle peut être mise en évidence par un puits de petit diamètre, un piézomètre.

Sinon, quand un véritable écoulement se produit dans la zone saturée, en dessous de la nappe, l’ingénieur doit résoudre cet écoulement à l’aide des équations suivantes :

h = u / g_w + z, ce qui définit la charge hydraulique et u correspond à la pression de l’eau, la pression interstitielle. Gw est le poids spécifique de l’eau (10kN/m3), z une référence verticale (côte) choisie judicieusement pour des calculs plus lisibles.

v = k i, détermine la vitesse de l’écoulement, produit du gradient i de la charge, par la perméabilité du sol k. C’est la loi de Darcy. La perméabilité k est difficile à déterminer avec précision et présente un caractère anisotropique important. Du sable à l’argile, elle varie de 10 ^-3 m/s à 10 ^-12 m/s. Pour deux sols différents, si le rapport de perméabilité dépasse 100, un des sols peut être considéré comme imperméable par rapport à l’autre.

Type de sol	k : perméabilité en cm/s
Graves	10 ² à 10 ^{- 1}
Sables	10 ^{- 1} à 10 ^{- 3}
Limons	10 ^{- 3} à 10 ^{- 7}
Argiles	10 ^{- 7} à 10 ^{- 11}
Roches non fissurées	10 ^{- 8} à 10 ^{- 10}

Tab 3 - 1 - Valeurs de perméabilité

Dh = 0, cette équation, qui traduit la conservation de l’eau dans un sol permet de résoudre l’écoulement, c’est à dire déterminer en tout point du domaine la charge, donc la vitesse et la pression interstitielle. L’écoulement peut être représenté par ses lignes de courant et ses équipotentielles. Cette résolution d’équations différentielles ne peut être accomplie que si les conditions limites de l’écoulement sont connues, ce qui est parfois très délicat et il y a souvent, de nombreuses hypothèses simplificatrices à poser.

E = i V g_w , traduit le fait qu’un sol parcouru par un écoulement est soumis à des forces d’entraînement volumique. Lorsque l’écoulement est ascendant, il y a alors risque de renard. Le gradient critique i_c = g’ / g_w, est la limite du gradient vertical avant boulance du sol.

La coexistence de deux zones de sol, zone saturée et zone non saturée, rend la résolution de l’écoulement un peu plus délicate. Chaque élément de sol peut être en cours de saturation, c’est un accumulateur d’eau ; en cours de drainage, il fournit de l’eau à ses voisins ; ou saturé, il est parcouru par un écoulement. Cette modification du degré de saturation se traduit par une variation importante de la perméabilité. Différents auteurs ont fourni des relations entre la perméabilité et le degré de saturation. L’ingénieur possède ainsi des données pour ses calculs, s’il connaît les conditions limites à appliquer.

Cas d’une couche horizontale soumise à la pluie.

Dans le cas d’une couche horizontale la nappe s’établit à une certaine profondeur et est horizontale. La zone au- dessus de la nappe est non saturée.

Une pluie de courte durée modifie le degré de saturation de cette zone, sans jamais atteindre la saturation, puis après la pluie l’équilibre précédent est retrouvé.

Une pluie de plus longue durée va générer un front de saturation, qui à partir de la surface du sol va rejoindre la nappe. Si comme dans la plupar des cas, la pluie se termine bien avant que le front saturé atteigne la nappe, ce dernier disparaît.

Une pluie de très longue durée va générer un front de saturation qui va rejoindre la nappe et élever d’un seul coup les pressions interstitielles, et donc occasionner des conditions de rupture.

Profil hydrique

Profils calculés pour différentes hypothèses sur la forme de la courbe

Cas d'un bicouche

Evolution du profil hydrique avec la pluie (exemple)

Principes de calcul de ces profils d'équilibre

En se donnant l’allure du profil vertical de la teneur en eau, on peut déterminer le poids Pw de la colonne d’eau ; l’eau ayant une densité apparente variable en fonction du degré de saturation. Le poids de la colonne d’eau peut donc s’écrire :

Nous avons essayé quatre allures du profil vertical : (cf. figure ci-dessus)

Une droite passant par A’ et B ;
Une courbe en ‘1/x’ passant par (A’, B) : la Loi de Jurin donne, pour la zone située au- dessus de la frange capillaire;

Une courbe en ‘S’, tangente aux axes verticaux en A’et en B et obtenue par la fonction trigonométrique ‘‘tangente’’ ;
Dans la littérature, on trouve de nombreuses mesures in- situ de la teneur en eau pour différents sols. Le profil vertical de la teneur en eau suivant généralement une courbe en ‘‘S’’, Van Genuchten a proposé une équation liant la saturation à la profondeur :

.

Avec Q la teneur en eau volumique.

En remarquant que

On obtient :

avec : a, n et m les paramètres de Van Genuchten dépendant du sol étudié,

e l’indice des vides,

Qr la teneur en eau volumique résiduelle,

Qs la teneur en eau volumique à saturation,

z la cote, depuis la nappe, de la cellule dont on veut déterminer le degré de saturation : soit la différence entre la profondeur de la nappe et la profondeur de la cellule étudiée.

Le profil vertical est obtenu à partir de bornes définies comme suit :

Depuis la nappe (point A) et jusqu’à une hauteur donnée par la Loi de Jurin, le degré de saturation est maximal et prend pour valeur 1, on obtient donc le point A’ ;
Comme nous l’avons vu plus haut, il subsiste en surface une certaine quantité d’eau : la saturation du sol y est donc résiduelle, ceci étant vrai du point C au point B.

Le principe retenu pour obtenir l’état d’équilibre entre les forces de succion et le poids de la colonne d’eau soulevée consiste à faire décroître h1 (et par conséquent la position de B) depuis hw jusqu’à la nappe. A chaque itération on détermine le poids de l’eau maintenue dans le sol. On stoppe ces itérations lorsque l’on approche de l’équilibre : c’est- à-dire lorsque le poids de la colonne d’eau a même valeur que les forces de succion.

En superposant les quatre courbes obtenues (voir ci-dessus), on peut vérifier qu’elles fournissent des profils cohérents, même si certains ont des allures totalement différentes.

Comme nous l’avons introduit précédemment, deux approches peuvent être envisagées, à partir du même modèle :

Comportement vis-à-vis d'une pluie quelconque

L’objectif est d’évaluer le comportement d’un sol pendant un temps donné, soumis à une pluie donnée. Il est nécessaire de fournir un graphe de pluie en fonction du temps. A partir de t0, on va donner une intensité de pluie pour plusieurs intervalles de temps. Le modèle établit ensuite l’évolution du taux de saturation en fonction du temps et de la profondeur.

Détermination du temps nécessaire pour saturer toute la zone non-saturée

Comme cela a été écrit en introduction, lorsque le front de saturation atteint la nappe, il peut y avoir rupture par instabilité de la pente étudiée. En effet, lorsque l’eau occupe tous les vides, il y a continuité entre tous ces vides, et la pression interstitielle augmente alors brusquement du poids de la colonne d’eau située au-dessus de la couche considérée.

C’est pourquoi, une exploitation possible de ce modèle est de déterminer le temps nécessaire pour saturer entièrement la zone située au-dessus de la nappe.

Par rapport à l’approche précédente, on ne va plus soumettre le sol à des précipitations en fonction d’intervalles de temps, mais on va faire en sorte de maintenir saturée la première couche de sol pendant le temps nécessaire au front d’infiltration pour atteindre la nappe. Il suffit alors de calculer cette valeur de temps.

On obtient ainsi, en cas de forte pluie, le temps nécessaire à un accroissement soudain de la pression interstitielle.

Rappels sur la perméabilité, la succion et la loi de Darcy

Perméabilité

Quand un sol est non saturé, la diminution de la teneur en eau correspond à un amincissement des pellicules d’eau adsorbées et par conséquent à un accroissement des forces retenant l’eau dans le squelette du sol. La perméabilité d’un sol (l’opposition plus ou moins forte aux déplacements de l’eau dans le sol) dépend donc de sa teneur en eau.

La loi de comportement adoptée pour décrire les variations du coefficient de perméabilité en fonction de la saturation est, pour notre modèle, celle définie par S. Irmay :

avec : a et a des constantes dépendantes du type de sol,

e l’indice des vides,

Sru le degré de saturation résiduel.

Succion

Dans la littérature, nous avons pu trouver l’allure de courbes liant les pressions internes du sol au degré de saturation.

Aussi, nous avons pris en compte ce phénomène d’hystérésis en utilisant comme borne inférieure du degré de saturation du sol la teneur en eau initiale en cas d’assèchement du sol étudié.

Elle nous donne la quantité d’eau minimale, pour une profondeur donnée, que le sol peut contenir : nous sommes alors sur la courbe de drainage du sol .

Nous allons maintenant augmenter le taux de saturation de la partie de sol en surface : nous allons basculer sur la courbe d’humidification.

L’eau va ensuite s’écouler jusqu’à la nappe en augmentant la saturation de toutes les tranches de sol . On va alors utiliser la courbe d’humidification.

Lorsque la pluie va s’arrêter, les différents éléments de sol vont tenter de retrouver leur état d’équilibre en drainant l’eau qu’ils contiennent vers les éléments inférieurs. Lorsque la courbe d’humidification va croiser la courbe de drainage, l’écoulement va s’arrêter puisque les forces de succion seront assez importantes pour maintenir cette eau dans le sol. On aura alors retrouvé la courbe de drainage de l’état initial .

Pour notre modèle, nous avons choisi d’utiliser la courbe d’humidification pour déterminer les forces de succion, puisque la courbe de drainage sert juste de point d’arrêt à l’humidification. On peut donc connaître les efforts de succion pour chaque élément en fonction de l’évolution de son taux de saturation.

Andrei a établi une expression analytique de la courbe de rétention ‘‘hs = f(w)’’ valable pour approximativement tous les types de sols :

avec : c et b des constantes, Andrei propose b = 4.92 et c = 5.511,

w_hm la teneur en eau d’hygroscopicité maximale, c’est-à- dire la proportion d’eau liée : il s’agit de l’eau ‘‘attachée’’ à la surface des grains par le jeu des forces d’attraction moléculaire,

hs la succion en cm d’eau

Loi de Darcy

A la fin du XIXème siècle, Henry Darcy a proposé une relation expérimentale décrivant le débit d’eau Q s’écoulant à travers un massif de sable à partir de la section A du massif sableux, de la perte de charge Dh de l’eau entre le sommet et la base du massif, d’une constante K dépendant du milieux poreux et de l’épaisseur L du massif :

Le remplacement de la vitesse réelle par la vitesse de décharge (Q/A) simplifie grandement les calculs puisque s’agissant d’une vitesse moyenne, on ne tient pas compte du trajet exact de l’écoulement, puisque l’on considère que l’eau occupe tout le volume affecté à l’écoulement, sans tenir compte de celui occupé par le sol lui-même. Cette approximation peut être faite sans risque au vu du rôle négligeable de l’énergie cinétique.

Le paramètre K a été baptisé coefficient de perméabilité par les hydrogéologues et mobilité par les mécaniciens et a la dimension d’une vitesse. Afin de s’affranchir des caractéristiques du fluide, on a défini la perméabilité intrinsèque, relative à un milieu poreux.

Avec de l’eau comme fluide, nous avons : k = 10 -7 * K

Cette perméabilité intrinsèque ki est fonction de la saturation du milieu en fluide i : plus la portion du milieu poreux occupée par le fluide i sera grande, plus la perméabilité liée à ce fluide sera grande.

En dessous d’une certaine saturation limite, la phase eau n’est plus continue et la perméabilité à l’eau est nulle. On peut noter que la somme des perméabilités intrinsèques des deux fluides n’est pas constante : chacun des fluides gêne l’autre dans son déplacement.

Une hypothèse concerne l’immobilité de la phase air. Lors d’un écoulement, l’eau occupe petit à petit les vides remplis d’air du sol. Cet écoulement de l’eau dans le sol est freiné par le déplacement inverse de l’air (et/ou de la vapeur d’eau) emprisonné(e) dans ces mêmes pores. Nous avons néanmoins considéré que seule la phase eau se déplaçait dans le sol.

Les trajectoires réelles de l’eau dans le sol sont vraisemblablement tortueuses, mais d’un point de vue macroscopique, on peut supposer que tous les filets liquides sont rectilignes et parallèles à l’axe de la conduite. On est alors amené à définir les tubes de courant, véritables conduits élémentaires dont la juxtaposition reconstitue la conduite.

Les écoulements de l’eau dans le sol peuvent être évalués par la Loi de Darcy généralisée: v = k* i

avec : v la vitesse de décharge, c’est-à-dire le rapport du débit observé q à la surface totale A de la section droite de l’élément considéré (dans notre cas, on se rapporte à une surface unitaire d’1 m²),

k le coefficient de perméabilité, homogène à une vitesse et dépendant à la fois du milieu poreux et du fluide,

i le gradient hydraulique : variation de charge pour une variation dz d’abscisse dans le sens du courant : i = dh / dz

Généralement, on écrit le potentiel gravitationnel comme suit :

Pour des écoulements sur la verticale, la loi de Darcy devient :

avec : Dhg la différence de potentiel due aux forces de gravité,

Dhs la différence de potentiel due aux forces de succion,

Dz la longueur de la ligne de courant entre les points considérés.

Dans le cas de l’infiltration de l’eau dans un sol non saturé, la succion de la zone située au- dessous du front d’infiltration s’ajoute au potentiel gravitationnel : d’où le signe ‘‘+’’ entre les potentiels dans l’expression

Cas d'un typhon japonais

Le 29 juin 1999, les Japonais ont assisté à de nombreux désordres suite à des précipitations exceptionnelles autour des villes d’Hiroshima et de Kure. En moins de douze heures, se sont produits pas moins de 1616 glissements de terrains, entraînant la mort de 32 personnes et ensevelissant plus de 4700 habitations [1].

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