En sollicitation
cyclique, le diagramme contrainte déformation en cisaillement
du sol présente une courbe avec hystérésis, donc
avec dissipation d’énergie. On peut alors modéliser
le sol de deux façons :
1) On pratique
d’abord une analyse linéaire avec un module de
cisaillement effectif, puis on introduit un amortissement visqueux
pour modéliser la dissipation d’énergie dans le
sol.
2) On pratique une
analyse non linéaire pas à pas dans le temps avec
variation des paramètres à chaque pas.
Réalisées
avec minutie, ces deux approches sont très lourdes en calcul.
Des raccourcis ont été proposés.
Hardin et Drnevich
(1972) utilisent un modèle hyperbolique (fig 5 - 11) et
posent
G /
Gmax = 1 / (1 + g / gr ).
En écrivant G =
Gmax / (1 + gh) ils expriment gh par gh = g / gr ) ( 1 + a e
-b(g/ gr))
Fig 5 - 11 -
Modèle hyperbolique et ses paramètres.
Les valeurs a et b
sont données dans le tableau suivant.
|
Type de sol
|
Valeur de a
|
valeur de b
|
Valeur de a1
|
valeur de b1
|
|
Sable sec et propre
|
-0.5
|
0.16
|
0.6(N -1/6) - 1
|
1 - N -1/2
|
|
Sable propre saturé
|
-0.2 log10 N
|
0.16
|
0.54(N -1/6) - 0.9
|
0.65 -0.65 N -1/2
|
|
Sol cohésif saturé
|
1+ 0.25 log10 N
|
1.3
|
1+ 0.2 f0.5
|
0.2 f (e
-s’m) + 2.25 s’m + 0.3 log10
N
|
Tableau 5 -
2 Valeurs des paramètres des formules de Hardin et
al.
En fait ce
modèle s’appuie sur les paramètres Gmax
et tult. Gmax représentant le module en très
petites déformations des mesures de vitesses d’ondes de
cisaillement sont toutes indiquées. Ce sont les méthodes
de cross hole, down hole décrites au chapitre 9. Des
corrélations ont aussi été établies. Seed et
Idriss (1970) proposent pour le sable :
Gmax =
21.7( 0.62 Dr + 15) Pa (s’m / Pa)
0.5
Hardin et al (1970)
proposent une formule plus complète pour le sable et
l’argile :
Gmax =
314 {(2.973 - e)2 / (1 + e)} OCR k
Pa(s’m / Pa)
0.5
s’m est la contrainte principale
effective moyenne, Pa la pression atmosphérique, e
l’indice des vides, OCR le coefficient de surconsolidation et
k un coefficient qui dépend de l’indice de
plasticité. (Tableau 5 - 3)
|
Indice de plasticité du sol
|
Valeur de k
|
|
0
|
0
|
|
20
|
0.18
|
|
40
|
0.30
|
|
60
|
0.41
|
|
80
|
0.48
|
|
>100
|
0.5
|
Tab 5 - 3
Valeur de l’exposant k, formule de Hardin et
al.
La résistance
ultime est fournie par l’équation de Coulomb avec comme
valeur de contrainte normale, la plus faible des contraintes
s’appliquant sur un élément de sol soit
K0 s’v0.
L’amortissement visqueux est aussi
quantifié par Hardin et al (1972).
Ils
écrivent z = zmax (1 - G / Gmax). Comme
précédemment en posant gh = g / gr ils obtiennent :
gh = g / gr ) ( 1 + a1 e
-b1(g/ gr)). Les valeurs de a1 et
b1 sont fournies dans le tableau 5 - 2.
Ceci fournit
l’accélérogramme à la surface du sol et le
spectre de réponse qui détermine les charges sismiques.
On obtient aussi les valeurs maximales des contraintes et des
déformations qui permettent de vérifier le risque de
liquéfaction.
Historiquement
d’autres approches plus sommaires existent et peuvent parfois
donner des résultats informatifs.
a) Approche de
Seed.
Dès 1966, Seed
utilise pour des sols saturés homogènes la méthode
des éléments finis pour calculer le déplacement
d’un ouvrage, sans faire d’hypothèse sur la ligne
de rupture potentielle. La méthode de Seed a été
théorisée et en 1986 Guy Lefèbvre en résume les
différentes étapes :
1)
Spécification de l’accélérogramme de
base.
2)
Sélection et définition des sections qui doivent
être analysées.
3)
Détermination des propriétés statiques et dynamiques
des pentes.
4)
Détermination des contraintes statiques in situ avant le
séisme.
5)
Calculer par éléments finis les contraintes dynamiques
induites par l’accélérogramme de base.
6)
Convertir les cycles irréguliers en cycles réguliers
équivalents.
7)
Soumettre un certain nombre d’échantillons des sols
à ces sollicitations équivalentes.
8)
Comparer réponses du sol et sollicitations in situ pour
évaluer un coefficient de sécurité, un
déplacement, une déformation.
b) Analyse en
contraintes effectives.
Un modèle de
prédiction des pressions interstitielles est utilisé. On
obtient ru en tout point et l’on poursuit
l’analyse de stabilité. La faiblesse d’expression
de ces modèles de prédiction est importante, trop de
paramètres sont négligés.
c) Expression
d’un potentiel de liquéfaction.
Seed et Idriss
compare la résistance au cisaillement cyclique non
drainée avec la contrainte de cisaillement engendrée par
le séisme. La contrainte de cisaillement due au séisme
est évaluée par la formule t = 0.65 (g h /
g) amax rd
avec amax
accélération maximale du sol en surface, rd
coefficient d’amortissement (<1) fonction de la profondeur
h.(par exemple rd = 1 - 0.0015 h)
amax peut
être évalué par la formule suivante amax
= 18.4 (100.302M) D-0.8
(Tatsuoka, )
D’autre part
le rapport t / s’v est lié par des relations
empiriques à la densité relative Dr ou à
des valeurs du SPT.
Comme on le voit les
approches sont multiples et montrent le différentes facettes
d’une modélisation délicate.
1. Définition d'un séisme
