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Théorie

 * Théorèmes des limites

 * Solution de Atkinson et Potts

 * Solution de Caquot

 * Solution de Mühlhaus

 * Remarques

L'analyse limite est une application directe des théorèmes des limites inférieures et supérieures.

Théorèmes des limites

Le théorème de la limite inférieure établit que toute solution statiquement admissible qui nulle part ne viole les conditions du sol consitue une valeur limite inférieure à la pression interne necessaire à la stabilité de l'excavation[2].

Figure 1: Théorème de la limite inférieure
Extrait de [2]

Le théorème de la limite supérieure établit que toute solution cinématiquement admissible constitue une valeur limite supérieure à la pression interne nécessaire à la stabilité de l'excavation [2].

Figure 2:Théorème de la limite supérieure
Extrait de [2]

Toute solution statiquement admissible donne une valeur de la pression interne qui sera supérieure à la valeur critique en-dessous de laquelle il y aura rupture. Cette solution représente donc une estimation allant du coté de la sécurité pour la pression nécessaire de support.

A l'opposé, les valeurs cinématiquement admissibles représentent des estimations allant du
côté de l'insécurité pour cette pression.

Ainsi au cours des années, bien des chercheurs se sont dédicacés à l'obtention d' expression de solution statiquement admissible.

Solution statiquement admissible de Caquot (1956)

Figure 3 : Solution statiquement admissible de Caquot
Extrait de [2]

1. Hypothèses

* Tunnel circulaire
* Contraintes hydrostatiques
* Materiaux caractérisés par un angle Φ et une cohésion c

2. Principe

L'intérieur de l'excavation est rempli d'un fluide qui a le même poids volumique que le sol et le problème consiste à estimer la pression de ce fluide qui conduit à la rupture. On considère qu'il y aura rupture lorsque le rayon plastique atteindra le sol. Caquot permet ainsi de calculer en égalant la pression pi à zéro, la profondeur h associée à la rupture du sol.

 

3. Expression

Où

H=c/tan(Φ) K=tan²(π/4+Φ/2)

Solution statiquement admissible de Atkinson et Potts (1977)

1. Hypothèses

* Tunnel circulaire
* Contraintes hydrostatiques
* Materiaux sans cohésion

2. Principe

On considère qu'il y aura rupture lorsque le rayon plastique atteindra le sol. les équations d'équilibre sont intégrées dans l'aire circulaire qui s'étend du périmètre du tunnel jusqu'à la surface (voir figure 3).
Les contraintes à l'intérieur de cette surface sont supposées à l'état plastique

3. Expression

1) cas d'une surcharge grande

Ü poids du sol négligé

Où

C=(rs-R) ν=(1+sin Φ)/(1-sin Φ)

2) cas de la surcharge négligé

Où

ν=(1+sin Φ)/(1-sin Φ)

r_s est la profondeur du centre de l'excavation
R le rayon
σ_s la surcharge
σ_T la pression interne

Solution statiquement admissible de Mühlhaus

Mühlhaus a également proposé une solution similaire aux 2 précédentes solutions mais a surtout proposé une solution statiquement admissible pour la longueur non-supportee L de l'excavation.

Figure 4: Portée non soutenue d'un tunnel
Extrait de [2]

1. Hypothèses

* Tunnel circulaire
* Contraintes hydrostatiques
* Surcharge grande Ü poids du sol négligé

2. Principe

La portée non soutenue L et le diamètre D du front d'attaque définissent une sphère de surface S1 et celle-ci est comprise dans une autre sphère de surface S2 dont l'extrémité supérieure atteint la surface .

En considérant les contraintes à l'intérieur de ce volume comme à l'état plastique, les conditions limites à la surface (σ_s= σ_r), on peut intégrer les équations d'équilibres pour obtenir l'expression de Mühlhaus.

3. Expression

Où

λp=(1+sin Φ)/(1-sin Φ) σu= résistance à la compression non confinée du sol σs= la surchage au niveau de la surface

Remarques

 Ces solutions sont conservatrices mais comme illustré ci-dessous, approximent déjà mieux les contraintes que ne le fait la méthode de Terzaghi par exemple.

Figure 5:comparaison entre Caquot, Terzaghi et le programme FLAC
Extrait de [1]