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Comparaisons de distributions de contraintes et de déplacements dans le massif

12.1  Introduction

Les méthodes reprises dans le didacticiel de calcul, qui analysent la distribution de contraintes dans le sol, sont les suivantes: Lamé, Kirsch, Panet et les éléments finis.

Ces méthodes permettent de calculer la distribution des contraintes s_r, s _q ,t et le déplacement radial u_r autour d'une excavation sans soutènement. Dans ce chapitre, nous analyserons les résultats des différentes méthodes pour les cas qui nous semblaient les plus intéressants. Dans cette optique, nous avons choisi les cas 1,2 et 5 qui représentent un large éventail de situations: comportement élastique, comportement plastique et des charges non-hydrostatiques.

12.2  Comparaisons et observations

12.2.1  Cas 1

Comme défini ci-dessus , il s'agit d'une excavation à faible profondeur dans un massif composé de schiste. Intuitivement, on peut s'attendre à un état de contraintes du massif qui reste élastique, intuition qui sera confirmée par les résultats de Panet.

Contraintes radiales et tangentielles

Figure 12.1: Comparaison de la distribution des contraintes dans un massif

Déplacement radial

Le déplacement radial, de manière générale, est maximal au bord de l'excavation pour tendre vers un déplacement nul à une distance considérable du tunnel.

La comparaison entre déplacements peut se faire entre la méthode de Lamé, Panet (expressions identiques à cause du comportement élastique du massif) et la méthode des éléments finis.

La précision et l'exactitude des résultats au niveau du déplacement radial dépendent des conditions limites du modèle et de sa taille.

Figure 12.2: Différents modèles et conditions limites

Modèle libre:

• contrainte initiale s₀ (s_v=s_h dans le cas hydrostatique) appliquée sur toutes les faces du modèle,
  
  

• quatres points fixes (Fig.12.2): les deux points rouges sont bloqués en translation horizontale et les deux points bleus ne peuvent se déplacer verticalement,
  
  

• dimensions du modèle carré: dix fois le rayon de l'excavation, comme conseillé dans  [7,23].
  
  

Ces conditions sur les déplacements des quatre points au bord de l'excavation nous permettent d'imposer une symétrie dans les résultats. En effet, l'excavation circulaire se contracte symétriquement par rapport au centre.

Il existe une grande différence entre les déplacements considérés par les méthodes analytiques (Lamé, Kirsch ,...) et les déplacements obtenus par la méthode des éléments finis.

En effet, les forces appliquées aux limites du modèle d'éléments finis, qui représentent les contraintes initiales du massif induisent des déplacements dans le modèle, indépendamment de la présence d'une excavation. La valeur totale des déplacements radiaux obtenue par les éléments finis est ainsi la somme de ces déplacements et des déplacements engendrés par l'excavation.

Au contraire, les méthodes analytiques ne tiennent pas compte de la compression initiale du massif et ne considèrent, par conséquent, que les déplacements engendrés par l'excavation. En effet, la déformation du massif due au contraintes initiales sont préalables à l'excavation.

Nous avons donc soustrait aux résultats des déplacements radiaux selon la méthode des éléments finis, les déplacements uniquement dues aux contraintes initiales. Nous obtenons ainsi des valeurs fort semblables au niveau des résultats des déplacements entre les solutions analytiques et les éléments finis, comme nous pouvons le remarquer sur la figure 12.3.

Figure 12.3: Comparaison des déplacements dans un massif élastique

12.2.2  Cas 2

Comme défini ci-dessus (section 10.2, page pageref), il s'agit d'une excavation à grande profondeur dans un massif composé de schiste. Intuitivement, on peut s'attendre à un état de contraintes élasto-plastiques du massif, intuition qui sera confirmée par les résultats de Panet. Il est plus intéressant, dans ce cas, de remarquer la différence de résultats entre les méthodes qui prennent en compte un comportement plastique possible du massif () et les méthodes purement élastiques (Kirsch, Lamé et dans notre cas aussi la méthode des éléments finis).

Contraintes radiales et tangentielles

Dans le cas d'une distribution hydrostatique des charges dans le massif, nous obtenons une distribution axisymétrique (vis-à-vis de l'axe longitudinale du tunnel) des contraintes.

Les méthodes élastiques donneront bien entendu le même type de distribution que dans le cas précédent: la contrainte radiale s_r tendra de 0 à la périphérie de l'excavation vers la contrainte initiale du massif s₀ pour une distance radiale infinie. La contrainte tangentielle s_q, quant à elle, tendra de 2s ₀ à la périphérie de l'excavation vers s₀ pour une distance radiale infinie.

L'approche élasto-plastique parfaite, par contre, donne une contrainte tangentielle s_q faible sur le bord de l'excavation, augmentant jusqu'à l'interface élasto-plastique, avant de converger vers la contrainte initiale s₀ à une distance radiale infinie du centre de l'excavation (Fig.12.4). La contrainte radiale s_r, quant à elle, connaîtra la même distribution qu'en élasticité pure, mais sera toujours inférieure en valeur.

Dans ce cas d'«hydrostaticité», les calculs selon Kirsch et Lamé sont basés sur les mêmes équations. Ces résultats sont très proches de la solution d'éléments finis, car ces méthodes partagent la même hypothèse d'élasticité. La solution de , par contre, est beaucoup plus réaliste, car elle prend en compte la présence d'une zone plastique dans le massif autour de l'excavation (Fig.12.4).

Figure 12.4: Comparaison de la distribution des contraintes dans un massif à comportement élasto-plastique

Déplacement radial

Le déplacement radial est maximal au bord de l'excavation pour tendre vers un déplacement nul à une distance considérable du tunnel. Cette distribution de déplacement en fonction de la distance du tunnel sera la même, indépendamment du fait que la méthode prenne ou non en compte un éventuel comportement plastique. Par contre, il y a une grande différence entre les valeurs des déplacements: le comportement plastique du massif engendre de grands déplacements pour de petites variations de contraintes. Par conséquent, la méthode de Panet donnera un déplacement radial de l'ordre de 500% supérieur aux déplacements des méthodes élastiques (Fig. 12.5). Cette sous-estimation des déplacements dans le cas d'hypothèse d'élasticité, s'il existe une zone plastique, s'avère irréaliste et pourrait être dangereuse dans des calculs réels.

Le problème des déplacements selon la méthode des éléments finis fut traité dans le cas précédent et ce qui a été dit reste valable dans ce cas-ci.

Figure 12.5: Comparaison des déplacements dans un massif

12.2.3  Cas 5

Comme défini ci-dessus (section 10.2, page pageref), il s'agit d'une excavation à grande profondeur dans un massif composé de schiste, tout comme le cas précédent. Néanmoins, la répartition de charges dans le massif est non-hydrostatique: la contrainte verticale s_v est différente de la contrainte horizontale s h et leur rapport est représenté par le coefficient de pression des terres K. Deux méthodes prennent en compte cette asymétrie de condition de charges: la méthode de Kirsh et celle des éléments finis, mais qui posent l'hypothèse d'un comportement élastique du massif.

Contraintes radiales et tangentielles

Figure 12.6: Comparaison de la distribution des contraintes dans un massif sous charge non-hydrostatique

Figure 12.7: Comparaison de la distribution des contraintes dans un massif sous charge non-hydrostatique

Figure

Dans le cas d'une distribution non-hydrostatique des charges dans le massif, nous n'obtenons plus la même symétrie que dans les deux cas précédents. La distribution des contraintes ne dépendra plus seulement de la distance radiale, mais également de l'angle vis-à- vis du centre de l'excavation. Par conséquent, la distribution des contraintes sera quelque peu différente: la contrainte radiale s_r tendra de 0 au bord de l'excavation vers la contrainte initiale du massif pour une distance radiale infinie. Cette contrainte initiale sera s_v à la verticale et s_h à l'horizontale (Fig.12.6, 12.7). La contrainte tangentielle s_q, quant à elle, varie sur le périmètre de l'excavation et tend comme s_r vers la contrainte initiale dans le massif pour un distance radiale infinie (Fig.12.6, 12.7).

La comparaison des valeurs de la distribution des contraintes dans le massif entre la méthode de Kirsch et celle des éléments finis donne de très bons résultats (Fig.12.6, 12.7). Il est encore plus intéressant de comparer ces résultats en fonction des 2 paramètres des coordonnées polaires simultanément, notamment la distance radiale et l'angle q. La similitude entre les 2 approches est rassurante (Fig. 12.8, 12.9)!

Figure 12.8: Comparaison de la distribution de la contrainte radiale s_r dans un massif sous charge non-hydrostatique

Figure 12.9: Comparaison de la distribution de la contrainte tangentielle s_q dans un massif sous charge non-hydrostatique

Contrainte de cisaillement

Figure 12.10: Comparaison de la distribution de la contrainte de cisaillement t dans un massif sous charge non-hydrostatique

L'hypothèse de condition de charge hydrostatique du massif donne une contrainte de cisaillement nulle dans tout le massif, suite à une répartition axisymétrique des contraintes. C'est le cas dans les deux cas précédents que nous venons de traiter. Dans ce cas- ci, par contre, la contrainte de cisaillement n'est pas nulle.

Sur tout le périmètre de l'excavation, la contrainte de cisaillement est nulle mais, en s'éloignant du centre du tunnel, la contrainte augmente pour se stabiliser à une valeur dépendante de l'angle. La figure 12.10 montre que l'influence de la distance radiale est beaucoup moins importante que celle de l'angle par rapport à l'horizontale.

La comparaison entre la méthode de Kirsch et celle des éléments finis des valeurs de la contrainte de cisaillement et de sa distribution donne de très bons résultats (Fig. 12.10).

* Définition du cadre des comparaisons

* Comparaisons des méthodes empiriques

* Comparaisons des méthodes de comportement de soutènement