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Théorie

* Principe

* Preprocessing

* Processing

* Postprocessing

* Remarques

1) Principe

Dans le cadre du didacticiel, nous nous limiterons à décrire la théorie des éléments finis, et ne justifierons pas la démarche mathématique. Si vous désirez en savoir plus nous vous conseillons l'œuvre [4] «The Finite Element Method».

Il s'agit d'une méthode dite «variationnelle» de calcul de milieux déformables. Elle consiste à associer au milieu réel un milieu «idéalisé», pour lequel on a fait une hypothèse sur la forme de l'une des inconnues du problème. On peut, par exemple, supposer que le déplacement varie linéairement à l'intérieur d'un triangle, la portion du plan étudié étant décomposée en un nombre fini de triangles.
En écrivant que l'énergie potentielle du solide idéalisé est minimale (modèle de type déplacement), on obtient un système linéaire dont la solution fournit une solution approchée du problème mécanique.

Habituellement les conditions suivantes sont satisfaites:

* Equilibre : Les forces externes sont en équilibre avec les efforts ou les contraintes internes.

* Compatibilité : Les déplacements sont connus et peuvent être déduits en chaque point, par des relations linéaires, à partir des déplacements des sommets du triangle.

* Lois constitutives : La loi qui relie la déformation à la contrainte peut être différente pour chacun des triangles. Elle peut être de type élastique, élasto-plastique ou élasto-fragile.

Les valeurs des données géotechniques et des caractéristiques du revêtement à introduire sont cruciales, en vue d'obtenir des résultats cohérents. Nous pouvons formuler quelques remarques à ce sujet :

* Caractéristiques mécaniques du terrain : Dans le cas d'un comportement élastique, les caractéristiques de chaque couche seront définies par son module d'élasticité E et son coefficient de Poisson ν. On notera à ce propos qu'une étude, même sommaire, de ces caractéristiques est préférable dans tous les cas à l'absence totale d'étude, qui conduit au calcul de soutènement dans l'ignorance presque totale du massif!

* Etat initial des contraintes : Pour des raisons d'ordre géologique, les contraintes initiales peuvent être sensiblement différentes de celles qui seraient dues au seul poids propre du terrain. A défaut de mesures in situ, l'interprétation des résultats devra tenir compte de l'incertitude des données car toute approximation en éléments finis génère de grandes variations dans les résultats.

* Contraintes aux limites du modèle : Dans le calcul de massifs soumis à des contraintes «naturelles», on impose généralement «assez» loin de la galerie des conditions de déplacement nuls. Dans cette optique, nous avons opté pour un modèle ayant des dimensions de 10 fois le diamètre du tunnel et imposé des déplacements à son extrémité nuls.

Le grand nombre d'équations à résoudre par un programme d'éléments finis peut demander un temps de calcul considérable, même pour les machines actuelles. Le logiciel travaille en trois étapes successives: le prepocessing, le processing et le postprocessing.

2) Preprocessing

La première étape dans le calcul, qui constitue à discrétiser l'espace du modèle en un nombre fini d'éléments, est appelée le maillage. Le maillage du modèle a été généré à l'aide du programme GMSH. La finesse du maillage dépend des moyens dont on dispose et de la précision souhaitée. En vue de l'application «en ligne» du programme, le temps de calcul du programme avoisine les 12 secondes, en soltionnant un modèle de plus ou moins 1300 noeuds et environ le double d'éléments triangulaires.

Figure 1: Exemple de discretisation en éléments finis

Les critères suivants pour le maillage ont été respecté :

*  la limite terrain-soutènement doit coïncider avec les limites des mailles,

*   un maillage structuré est généré dans la zone de soutènement en vue d'améliorer la qualité de la solution dans cette zone sensible. Un maillage non structuré triangulaire est alors connecté à la partie structurée pour modéliser le reste du massif pris en compte par le modèle. La zone de soutènement est une zone sensible car les contraintes et les déformations varient fortement d'un point à l'autre.

3) Processing

Le processing a pour but de faire tourner le code d'éléments finis à partir des informations introduites lors du préprocessing (maillage, conditions limites,...).

Le code main utilisé dans le didacticiel a été développé par Remacle en collaboration avec l'école centrale de Nantes. Il s'agit d'un code orienté objet multiphysique et qui utilise un modèle d'état plan de déformations.

4) Postprocessing

*   Gestion des fichiers : cette étape consiste à traiter les fichiers de sortie, qui sont générés par le code d'éléments finis. Après lecture et interprétation des ces fichiers, il est possible d'avoir les données nécessaires pour fournir les résultats sous forme claire et instructive pour l'utilisateur.

*   Gestion des graphiques : A partir des données obtenues, il est possible de dessiner, grâce à un script PHP, les graphiques du maillage, du déplacement radial, des contraintes radiales, tangentielles et de cisaillement dans le modèle.
Le dessin du maillage et du déplacement consiste à lire les coordonnées des différents sommets et à tracer des droites entre eux.
Le dessin des contraintes diffère des dessins du maillage et du déplacement, car il s'agit d'assigner une couleur à une valeur de contrainte. Cela nécessite de créer une palette de 256 couleurs (nombre de couleurs maximum affichables sur une image) qui couvre du minimum au maximum des contraintes du modèle étudié.

5) Remarques